Giúp mình với! (Ko dùng ChatGPT và AI)

Câu 1: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho tập hợp \( B \setminus A \) có ít nhất 5 số nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các khoảng của \( A \) và \( B \): - \( A = (-\infty; m] \) - \( B = [3 - m; 10) \) 2. Tập hợp \( B \setminus A \) là phần còn lại của \( B \) khi loại bỏ các phần tử thuộc \( A \). Điều này có nghĩa là: \[ B \setminus A = [3 - m; 10) \cap (m; +\infty) \] 3. Để \( B \setminus A \) có ít nhất 5 số nguyên, khoảng \( [3 - m; 10) \cap (m; +\infty) \) phải chứa ít nhất 5 số nguyên. 4. Ta cần tìm \( m \) sao cho khoảng \( (m; 10) \) chứa ít nhất 5 số nguyên. Điều này có nghĩa là: \[ 10 - m > 5 \] Giải bất phương trình này: \[ 10 - m > 5 \implies m < 5 \] 5. Đồng thời, \( 3 - m \) phải nằm trong khoảng \( (m; 10) \). Điều này có nghĩa là: \[ 3 - m > m \implies 3 > 2m \implies m < \frac{3}{2} \] 6. Kết hợp hai điều kiện \( m < 5 \) và \( m < \frac{3}{2} \), ta có: \[ m < \frac{3}{2} \] 7. Kiểm tra các giá trị của \( m \) để đảm bảo rằng \( B \setminus A \) có ít nhất 5 số nguyên: - Nếu \( m = 0 \), thì \( B \setminus A = [3; 10) \) và có các số nguyên là 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (7 số nguyên). - Nếu \( m = 1 \), thì \( B \setminus A = [2; 10) \) và có các số nguyên là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (8 số nguyên). - Nếu \( m = 2 \), thì \( B \setminus A = [1; 10) \) và có các số nguyên là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9 số nguyên). Do đó, giá trị của \( m \) phải thỏa mãn \( m < \frac{3}{2} \). Đáp án cuối cùng: \[ m < \frac{3}{2} \] Câu 2: a) Hàm số \( y = (m - 2)x^2 + 2mx + m + 2 \) đồng biến trên khoảng \( (-2; +\infty) \) nếu đạo hàm của nó \( y' \geq 0 \) trên khoảng này. Tuy nhiên, vì chúng ta không sử dụng đạo hàm, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của hàm số bậc hai. Hàm số \( y = (m - 2)x^2 + 2mx + m + 2 \) là một hàm số bậc hai với hệ số \( a = m - 2 \). - Nếu \( m - 2 > 0 \) (tức là \( m > 2 \)), hàm số mở lên và không thể đồng biến trên toàn bộ khoảng \( (-2; +\infty) \). - Nếu \( m - 2 < 0 \) (tức là \( m < 2 \)), hàm số mở xuống và có thể đồng biến trên khoảng \( (-2; +\infty) \) nếu đỉnh của parabol nằm bên trái điểm \( x = -2 \). Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này, \( a = m - 2 \) và \( b = 2m \), nên đỉnh của parabol là: \[ x = -\frac{2m}{2(m - 2)} = -\frac{m}{m - 2}. \] Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (-2; +\infty) \), đỉnh của parabol phải nằm bên trái điểm \( x = -2 \): \[ -\frac{m}{m - 2} \leq -2. \] Giải bất phương trình này: \[ -\frac{m}{m - 2} \leq -2 \] \[ \frac{m}{m - 2} \geq 2 \] \[ m \geq 2(m - 2) \] \[ m \geq 2m - 4 \] \[ 4 \geq m \] \[ m \leq 4. \] Kết hợp với điều kiện \( m < 2 \), ta có: \[ m < 2. \] Vậy, giá trị của tham số \( m \) để hàm số \( y = (m - 2)x^2 + 2mx + m + 2 \) đồng biến trên khoảng \( (-2; +\infty) \) là: \[ m < 2. \] b) Để đường thẳng \( (d): y = 2x + m \) cắt parabol \( (P): y = x^2 - 2mx - 2m - 3 \) tại hai điểm phân biệt \( M \) và \( N \), ta cần giải hệ phương trình: \[ 2x + m = x^2 - 2mx - 2m - 3. \] Chuyển vế và sắp xếp lại: \[ x^2 - (2m + 2)x - 3m - 3 = 0. \] Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, phương trình bậc hai này phải có hai nghiệm thực phân biệt. Điều này xảy ra khi biệt thức \( \Delta \) của phương trình bậc hai lớn hơn 0: \[ \Delta = (2m + 2)^2 - 4(1)(-3m - 3) > 0. \] Tính biệt thức: \[ \Delta = (2m + 2)^2 + 4(3m + 3) \] \[ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 + 12m + 12 \] \[ \Delta = 4m^2 + 20m + 16. \] Yêu cầu \( \Delta > 0 \): \[ 4m^2 + 20m + 16 > 0. \] Phương trình \( 4m^2 + 20m + 16 = 0 \) có nghiệm: \[ m = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 256}}{8} \] \[ m = \frac{-20 \pm \sqrt{144}}{8} \] \[ m = \frac{-20 \pm 12}{8} \] \[ m = -1 \quad \text{hoặc} \quad m = -4. \] Do đó, \( 4m^2 + 20m + 16 > 0 \) khi \( m < -4 \) hoặc \( m > -1 \). Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện \( MN = 10\sqrt{2} \). Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình \( x^2 - (2m + 2)x - 3m - 3 = 0 \). Khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \) là: \[ MN = |x_2 - x_1| \cdot \sqrt{(2)^2 + 1^2} = |x_2 - x_1| \cdot \sqrt{5}. \] Theo công thức khoảng cách giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai: \[ |x_2 - x_1| = \sqrt{\Delta} / |a|. \] Trong trường hợp này, \( a = 1 \), nên: \[ |x_2 - x_1| = \sqrt{4m^2 + 20m + 16}. \] Yêu cầu \( MN = 10\sqrt{2} \): \[ \sqrt{4m^2 + 20m + 16} \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{2} \] \[ \sqrt{4m^2 + 20m + 16} = 10\sqrt{2} / \sqrt{5} \] \[ \sqrt{4m^2 + 20m + 16} = 10\sqrt{2/5} \] \[ 4m^2 + 20m + 16 = 200/5 \] \[ 4m^2 + 20m + 16 = 40 \] \[ 4m^2 + 20m - 24 = 0 \] \[ m^2 + 5m - 6 = 0. \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} \] \[ m = \frac{-5 \pm 7}{2} \] \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -6. \] Kết hợp với điều kiện \( m < -4 \) hoặc \( m > -1 \), ta có: \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -6. \] Vậy, giá trị của tham số \( m \) để đường thẳng \( (d) \) cắt parabol \( (P) \) tại hai điểm phân biệt \( M \) và \( N \) sao cho \( MN = 10\sqrt{2} \) là: \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -6. \] Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình là \( x \geq -1 \). Phương trình đã cho: \[ x^2 + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt{x^2 + 1}. \] Bình phương hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai: \[ (x^2 + 3x + 1)^2 = [(x + 3)\sqrt{x^2 + 1}]^2. \] Khai triển vế trái: \[ (x^2 + 3x + 1)^2 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1. \] Khai triển vế phải: \[ [(x + 3)\sqrt{x^2 + 1}]^2 = (x + 3)^2 (x^2 + 1) = (x^2 + 6x + 9)(x^2 + 1). \] \[ = x^4 + x^2 + 6x^3 + 6x + 9x^2 + 9 = x^4 + 6x^3 + 10x^2 + 6x + 9. \] Do đó ta có: \[ x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = x^4 + 6x^3 + 10x^2 + 6x + 9. \] Trừ cả hai vế cho \( x^4 + 6x^3 + 6x \): \[ 11x^2 + 1 = 10x^2 + 9. \] Chuyển \( 10x^2 \) sang vế trái và chuyển \( 9 \) sang vế phải: \[ x^2 = 8. \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}. \] Kiểm tra điều kiện xác định \( x \geq -1 \): - Với \( x = 2\sqrt{2} \), thỏa mãn điều kiện \( x \geq -1 \). - Với \( x = -2\sqrt{2} \), không thỏa mãn điều kiện \( x \geq -1 \). Thử lại nghiệm \( x = 2\sqrt{2} \) trong phương trình ban đầu: \[ (2\sqrt{2})^2 + 3(2\sqrt{2}) + 1 = (2\sqrt{2} + 3)\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1}. \] \[ 8 + 6\sqrt{2} + 1 = (2\sqrt{2} + 3)\sqrt{8 + 1}. \] \[ 9 + 6\sqrt{2} = (2\sqrt{2} + 3)\sqrt{9}. \] \[ 9 + 6\sqrt{2} = (2\sqrt{2} + 3) \cdot 3. \] \[ 9 + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 9. \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 2\sqrt{2}. \]