Cho $A=n^2+n+2$, CMR $A$ không chia hết cho $15$ với mọi số tự nhiên $n$

Ta sẽ chứng minh rằng $A = n^2 + n + 2$ không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên $n$. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của $A$ cho các ước số của 15 là 3 và 5. 1. Kiểm tra tính chia hết cho 3: Ta xét các trường hợp của $n$ theo modulo 3: - Nếu $n \equiv 0 \pmod{3}$, thì $n = 3k$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (3k)^2 + 3k + 2 = 9k^2 + 3k + 2 \equiv 2 \pmod{3}$. Vậy $A$ không chia hết cho 3. - Nếu $n \equiv 1 \pmod{3}$, thì $n = 3k + 1$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (3k + 1)^2 + (3k + 1) + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 3k + 1 + 2 = 9k^2 + 9k + 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Vậy $A$ không chia hết cho 3. - Nếu $n \equiv 2 \pmod{3}$, thì $n = 3k + 2$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (3k + 2)^2 + (3k + 2) + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 3k + 2 + 2 = 9k^2 + 15k + 8 \equiv 2 \pmod{3}$. Vậy $A$ không chia hết cho 3. 2. Kiểm tra tính chia hết cho 5: Ta xét các trường hợp của $n$ theo modulo 5: - Nếu $n \equiv 0 \pmod{5}$, thì $n = 5k$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (5k)^2 + 5k + 2 = 25k^2 + 5k + 2 \equiv 2 \pmod{5}$. Vậy $A$ không chia hết cho 5. - Nếu $n \equiv 1 \pmod{5}$, thì $n = 5k + 1$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (5k + 1)^2 + (5k + 1) + 2 = 25k^2 + 10k + 1 + 5k + 1 + 2 = 25k^2 + 15k + 4 \equiv 4 \pmod{5}$. Vậy $A$ không chia hết cho 5. - Nếu $n \equiv 2 \pmod{5}$, thì $n = 5k + 2$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (5k + 2)^2 + (5k + 2) + 2 = 25k^2 + 20k + 4 + 5k + 2 + 2 = 25k^2 + 25k + 8 \equiv 3 \pmod{5}$. Vậy $A$ không chia hết cho 5. - Nếu $n \equiv 3 \pmod{5}$, thì $n = 5k + 3$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (5k + 3)^2 + (5k + 3) + 2 = 25k^2 + 30k + 9 + 5k + 3 + 2 = 25k^2 + 35k + 14 \equiv 4 \pmod{5}$. Vậy $A$ không chia hết cho 5. - Nếu $n \equiv 4 \pmod{5}$, thì $n = 5k + 4$ (với $k$ là số nguyên). Khi đó, $A = (5k + 4)^2 + (5k + 4) + 2 = 25k^2 + 40k + 16 + 5k + 4 + 2 = 25k^2 + 45k + 22 \equiv 2 \pmod{5}$. Vậy $A$ không chia hết cho 5. Vì $A$ không chia hết cho 3 và 5 trong tất cả các trường hợp, nên $A$ không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên $n$.