Tính giá trị S.

Câu 2: Để hàm số \( y = \log_2(4^x - 2^x + m) \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), biểu thức trong dấu logarit \( 4^x - 2^x + m \) phải luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Ta xét biểu thức \( 4^x - 2^x + m \). Đặt \( t = 2^x \), ta có \( t > 0 \) vì \( 2^x > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Biểu thức trở thành: \[ t^2 - t + m > 0 \quad \text{với mọi } t > 0. \] Xét hàm số \( f(t) = t^2 - t + m \). Để \( f(t) > 0 \) với mọi \( t > 0 \), ta cần đảm bảo rằng \( f(t) \) không có nghiệm thực nào trong khoảng \( t > 0 \). Hàm số \( f(t) \) là một parabol mở lên (hệ số của \( t^2 \) là 1, dương). Do đó, để \( f(t) > 0 \) với mọi \( t > 0 \), đỉnh của parabol phải nằm phía trên trục hoành. Đỉnh của parabol \( f(t) \) có tọa độ: \[ t = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2}. \] Giá trị của \( f(t) \) tại đỉnh là: \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + m = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + m = m - \frac{1}{4}. \] Để \( f(t) > 0 \) với mọi \( t > 0 \), ta cần: \[ m - \frac{1}{4} > 0 \] \[ m > \frac{1}{4}. \] Do đó, \( m > \frac{1}{4} \). Theo đề bài, \( m > \frac{a}{b} \). Ta có: \[ \frac{a}{b} = \frac{1}{4}. \] Vậy \( a = 1 \) và \( b = 4 \). Tính giá trị của biểu thức \( S = a - b \): \[ S = 1 - 4 = -3. \] Đáp số: \( S = -3 \).