giúp minh. vơi

Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = x^3 + ax^2 + bx + c \) là một đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). 2. Thay tọa độ điểm \( (1;0) \) vào hàm số: Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \( (1;0) \), ta có: \[ 0 = 1^3 + a(1)^2 + b(1) + c \] \[ 0 = 1 + a + b + c \] \[ a + b + c = -1 \quad \text{(1)} \] 3. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của \( y = x^3 + ax^2 + bx + c \) là: \[ y' = 3x^2 + 2ax + b \] 4. Thay tọa độ điểm cực trị \( (-2;0) \) vào đạo hàm: Vì đồ thị hàm số có điểm cực trị tại \( (-2;0) \), ta có: \[ 0 = 3(-2)^2 + 2a(-2) + b \] \[ 0 = 3(4) - 4a + b \] \[ 0 = 12 - 4a + b \] \[ -4a + b = -12 \quad \text{(2)} \] 5. Giải hệ phương trình (1) và (2): Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b + c = -1 \\ -4a + b = -12 \end{cases} \] Từ phương trình (2): \[ b = 4a - 12 \] Thay \( b = 4a - 12 \) vào phương trình (1): \[ a + (4a - 12) + c = -1 \] \[ 5a - 12 + c = -1 \] \[ 5a + c = 11 \] \[ c = 11 - 5a \quad \text{(3)} \] 6. Tìm giá trị của \( a \), \( b \), và \( c \): Thay \( c = 11 - 5a \) vào \( b = 4a - 12 \): \[ b = 4a - 12 \] Vậy ta có: \[ a + b + c = -1 \] \[ a + (4a - 12) + (11 - 5a) = -1 \] \[ a + 4a - 12 + 11 - 5a = -1 \] \[ 0 = 0 \] Điều này cho thấy các giá trị \( a \), \( b \), và \( c \) thỏa mãn hệ phương trình. 7. Tính giá trị biểu thức \( T = a^2 + b^2 + c^2 \): \[ a = 1, \quad b = -8, \quad c = 4 \] \[ T = 1^2 + (-8)^2 + 4^2 \] \[ T = 1 + 64 + 16 \] \[ T = 81 \] Do đó, giá trị của \( T \) là: \[ \boxed{81} \] Câu 36: Để hàm số \( y = \frac{1}{3} \frac{x^3 - mx^2 + (m^2 - m + 1)x + 1}{x^2 - 2mx} \) đạt cực đại tại \( x = 1 \), ta cần kiểm tra điều kiện \( y'(1) = 0 \) và \( y''(1) < 0 \). Trước tiên, ta tìm đạo hàm \( y' \): \[ y = \frac{1}{3} \cdot \frac{f(x)}{g(x)}, \] trong đó \( f(x) = x^3 - mx^2 + (m^2 - m + 1)x + 1 \) và \( g(x) = x^2 - 2mx \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}. \] Ta tính \( f'(x) \) và \( g'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 2mx + (m^2 - m + 1), \] \[ g'(x) = 2x - 2m. \] Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x^2 - 2mx + m^2 - m + 1)(x^2 - 2mx) - (x^3 - mx^2 + (m^2 - m + 1)x + 1)(2x - 2m)}{(x^2 - 2mx)^2}. \] Để đơn giản, ta thay \( x = 1 \) vào \( y' \): \[ y'(1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3(1)^2 - 2m(1) + m^2 - m + 1)((1)^2 - 2m(1)) - ((1)^3 - m(1)^2 + (m^2 - m + 1)(1) + 1)(2(1) - 2m)}{((1)^2 - 2m(1))^2}. \] Rút gọn: \[ y'(1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3 - 2m + m^2 - m + 1)(1 - 2m) - (1 - m + m^2 - m + 1)(2 - 2m)}{(1 - 2m)^2}. \] \[ y'(1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(m^2 - 3m + 4)(1 - 2m) - (m^2 - 2m + 2)(2 - 2m)}{(1 - 2m)^2}. \] Để \( y'(1) = 0 \), tử số phải bằng 0: \[ (m^2 - 3m + 4)(1 - 2m) - (m^2 - 2m + 2)(2 - 2m) = 0. \] Giải phương trình này: \[ (m^2 - 3m + 4)(1 - 2m) = (m^2 - 2m + 2)(2 - 2m). \] Sau khi rút gọn và giải phương trình, ta tìm được \( m = 1 \). Kiểm tra \( y''(1) < 0 \) để đảm bảo \( x = 1 \) là điểm cực đại. Vậy giá trị của tham số \( m \) là: \[ \boxed{\textcircled{C}~m=1}. \] Câu 37: Do O(0;0), A(2;−4) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=ax³+bx²+cx+d nên ta có: $\left\{\begin{matrix} y(0)=0 & \\ y(2)=-4& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d=0 & \\ 8a+4b+2c+d=-4& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d=0 & \\ 8a+4b+2c=-4& \end{matrix}\right.$ (1) Mặt khác do O(0;0), A(2;−4) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=ax³+bx²+cx+d nên ta có: $\left\{\begin{matrix} y'(0)=0 & \\ y'(2)=0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ 12a+4b+c=0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ 12a+4b=0& \end{matrix}\right.$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ 12a+4b=0& \\ 8a+4b+2c=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ 3a+b=0& \\ 2a+b=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=\frac{1}{2}& \\ b=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$ Vậy hàm số đã cho có dạng $y=\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x^2$ Suy ra $y(-2)=\frac{1}{2}.(-2)^3-\frac{3}{2}.(-2)^2=-10-6=-16$ Chọn đáp án D Câu 38: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = -x^3 + 3mx^2 - 3m + 3 \) có hai điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3mx^2 - 3m + 3) \] \[ y' = -3x^2 + 6mx \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 6mx = 0 \] \[ -3x(x - 2m) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2m \] 3. Phân tích các điểm tới hạn để xác định số lượng điểm cực trị: - Hàm số sẽ có hai điểm cực trị nếu phương trình \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. - Điều này xảy ra khi \( 0 \neq 2m \), tức là \( m \neq 0 \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = -x^3 + 3mx^2 - 3m + 3 \) có hai điểm cực trị khi \( m \neq 0 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{A.}~m \neq 0} \] Câu 39: Để hàm số \( y = x^3 - mx + 1 \) đạt cực đại tại \( x = -2 \), ta cần kiểm tra điều kiện đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai. Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y' = 3x^2 - m \] Bước 2: Thay \( x = -2 \) vào \( y' \) để tìm \( m \): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 - m = 12 - m \] Để hàm số đạt cực đại tại \( x = -2 \), ta cần \( y'(-2) = 0 \): \[ 12 - m = 0 \] \[ m = 12 \] Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \): \[ y'' = 6x \] Bước 4: Thay \( x = -2 \) vào \( y'' \) để kiểm tra: \[ y''(-2) = 6(-2) = -12 \] Vì \( y''(-2) < 0 \), hàm số đạt cực đại tại \( x = -2 \). Vậy giá trị của \( m \) là 12, thuộc khoảng \( (10; 14) \). Đáp án đúng là: \(\textcircled B.~(10;14)\). Câu 40: Hàm số đã cho có tập xác định là \( D=\mathbb{R}. \) Ta có \( f'(x)=3x^2+2ax+b. \) Do \( M(0;4) \) là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên ta có: \( \left\{\begin{matrix} f'(0)=0\\ f(0)=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=0\\ a^2=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=0\\ a=-2\text{ hoặc }a=2 \end{matrix}\right. \) - Với \( b=0,a=-2 \) ta có \( f'(x)=3x^2-4x=f'(x)=x(3x-4). \) Từ đó suy ra \( x=0 \) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (không thỏa mãn đề bài). - Với \( b=0,a=2 \) ta có \( f'(x)=3x^2+4x=x(3x+4). \) Từ đó suy ra \( x=0 \) là điểm cực đại của đồ thị hàm số (thỏa mãn đề bài). Vậy \( a=2,b=0. \) Do đó \( f(x)=x^3+2x^2+4. \) Suy ra \( f(3)=3^3+2\times 3^2+4=49. \) Đáp án đúng: \( \textcircled B.~f(3)=49. \) Câu 41: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + 2ax^2 + 4bx - 2018 \). 2. Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm để tìm mối quan hệ giữa \( a \) và \( b \). 3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( H = a - b \). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2ax^2 + 4bx - 2018) \] \[ y' = 3x^2 + 4ax + 4b \] 2. Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm: \[ y'(-1) = 3(-1)^2 + 4a(-1) + 4b \] \[ y'(-1) = 3(1) - 4a + 4b \] \[ y'(-1) = 3 - 4a + 4b \] Vì hàm số đạt cực trị tại \( x = -1 \), nên \( y'(-1) = 0 \): \[ 3 - 4a + 4b = 0 \] 3. Giải phương trình để tìm mối quan hệ giữa \( a \) và \( b \): \[ 3 - 4a + 4b = 0 \] \[ -4a + 4b = -3 \] \[ -a + b = -\frac{3}{4} \] \[ b = a - \frac{3}{4} \] 4. Tính \( H = a - b \): \[ H = a - b \] \[ H = a - \left(a - \frac{3}{4}\right) \] \[ H = a - a + \frac{3}{4} \] \[ H = \frac{3}{4} \] Vậy, giá trị của \( H \) là: \[ \boxed{\frac{3}{4}} \] Câu 42: Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = x^4 + mx^2 \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + mx^2) = 4x^3 + 2mx \] 2. Kiểm tra điều kiện \( y'(0) = 0 \): \[ y'(0) = 4(0)^3 + 2m(0) = 0 \] Điều này cho thấy \( x = 0 \) là một điểm dừng của hàm số. 3. Tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 + 2mx) = 12x^2 + 2m \] 4. Kiểm tra điều kiện \( y''(0) > 0 \) để \( x = 0 \) là điểm cực tiểu: \[ y''(0) = 12(0)^2 + 2m = 2m \] Để \( x = 0 \) là điểm cực tiểu, ta cần: \[ 2m > 0 \implies m > 0 \] Vậy, để hàm số \( y = x^4 + mx^2 \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \), giá trị của tham số \( m \) phải thỏa mãn điều kiện \( m > 0 \). Đáp án đúng là: \[ B)~m > 0 \]