Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 3a + ab + abc

Question

Accepted Answer

Ta có:
$$ P = 3a + ab + abc = 3a + ab(1 + c) $$

Do $ a + b + c = 4 $, ta có $ c = 4 - a - b $. Thay vào biểu thức trên, ta được:
$$ P = 3a + ab(1 + 4 - a - b) = 3a + ab(5 - a - b) $$
$$ P = 3a + 5ab - a^2b - ab^2 $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm $ a, b, c $:
$$ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} $$
$$ \frac{4}{3} \geq \sqrt[3]{abc} $$
$$ \left(\frac{4}{3}\right)^3 \geq abc $$
$$ \frac{64}{27} \geq abc $$

Do đó, $ abc \leq \frac{64}{27} $.

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của $ P $ khi $ a, b, c $ thay đổi trong khoảng $ [0, 4] $.

Xét trường hợp $ a = 4 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $:
$$ P = 3(4) + 4(0) + 4(0)(0) = 12 $$

Xét trường hợp $ a = 2 $, $ b = 1 $, $ c = 1 $:
$$ P = 3(2) + 2(1) + 2(1)(1) = 6 + 2 + 2 = 10 $$

Xét trường hợp $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ c = 2 $:
$$ P = 3(1) + 1(1) + 1(1)(2) = 3 + 1 + 2 = 6 $$

Như vậy, giá trị lớn nhất của $ P $ là 12, đạt được khi $ a = 4 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất của $ P $ là 12, đạt được khi $ a = 4 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $.

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3a + ab + abc