Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ . Khoảng cách giữa mặt bên và đỉnh đổi diện bằng 6. Hãy tính thể tích hình chóp

Để giải bài toán này, ta cần xác định các yếu tố cần thiết để tính thể tích của hình chóp tam giác đều. Giả sử hình chóp là \( S.ABC \) với đáy \( ABC \) là tam giác đều cạnh \( a \), và \( SA = SB = SC \) là các cạnh bên. Góc giữa cạnh bên \( SA \) và mặt phẳng đáy \( (ABC) \) là \( 60^\circ \). 1. Tính chiều cao của hình chóp: Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( S \) lên mặt phẳng đáy \( (ABC) \). Do hình chóp là tam giác đều, \( H \) là tâm của tam giác đều \( ABC \). Ta có góc giữa \( SA \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \( 60^\circ \), do đó: \[ \cos 60^\circ = \frac{SH}{SA} = \frac{1}{2} \] Suy ra \( SH = \frac{SA}{2} \). 2. Tính cạnh đáy \( a \): Gọi \( D \) là trung điểm của \( BC \). Do \( H \) là tâm của tam giác đều \( ABC \), \( HD = \frac{a\sqrt{3}}{6} \). 3. Tính khoảng cách từ đỉnh \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \): Khoảng cách từ đỉnh \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \) chính là chiều cao \( SH \) của hình chóp. Ta đã có: \[ SH = \frac{SA}{2} \] 4. Tính thể tích hình chóp: Thể tích \( V \) của hình chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] Diện tích đáy \( ABC \) là: \[ \text{Diện tích} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] Thay vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{SA}{2} \] 5. Tính \( SA \): Từ điều kiện khoảng cách từ mặt bên đến đỉnh đối diện là 6, ta có: \[ \text{Khoảng cách từ } S \text{ đến } (ABC) = SH = 6 \] \[ \Rightarrow \frac{SA}{2} = 6 \Rightarrow SA = 12 \] 6. Tính thể tích: Thay \( SA = 12 \) vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times 6 \] \[ V = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 \] Vậy thể tích của hình chóp là \( \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 \).