Giúp em với ạ

Bài 1: Để chứng minh các tính chất hình học trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng. 1. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN: - Gọi trung điểm của đoạn thẳng PN là Q. - Vì C là trung điểm của BN, nên ta có: \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CN} \). - M là trung điểm của BC, nên ta có: \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC} \). - P là trung điểm của AP, nên ta có: \( \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PM} \). - Ta cần chứng minh rằng Q nằm trên đường thẳng AC, tức là: \( \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{QC} \). - Xét các vectơ: - \( \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} \). - Vì M là trung điểm của AP, nên \( \overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} \). - Vì C là trung điểm của BN, nên \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC} \). - Do đó, \( \overrightarrow{PN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC} \). - Trung điểm Q của PN có: - \( \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC}) \). - Vì \( \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{BM} \) và \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CN} \), ta có: - \( \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN}) \). - Do đó, Q nằm trên đường thẳng AC. 2. Chứng minh đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN: - Gọi trung điểm của đoạn thẳng AN là R. - Vì C là trung điểm của BN, nên ta có: \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CN} \). - M là trung điểm của BC, nên ta có: \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC} \). - P là trung điểm của AP, nên ta có: \( \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PM} \). - Ta cần chứng minh rằng R nằm trên đường thẳng PC, tức là: \( \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{RC} \). - Xét các vectơ: - \( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} \). - Vì M là trung điểm của AP, nên \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} \). - Vì C là trung điểm của BN, nên \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC} \). - Do đó, \( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC} \). - Trung điểm R của AN có: - \( \overrightarrow{PR} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC}) \). - Vì \( \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{BM} \) và \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CN} \), ta có: - \( \overrightarrow{PR} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN}) \). - Do đó, R nằm trên đường thẳng PC. Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN và đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.