Bài 6:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.
a) Chứng minh :
- Xét hai tam giác và :
- Cạnh là cạnh chung của hai tam giác.
- Góc vì là đường phân giác của góc .
- Góc vì vuông góc với .
Vì hai tam giác có hai góc bằng nhau và cạnh chung, nên theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G).
b) So sánh và :
- Vì là đường phân giác của góc , theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
- Do tam giác vuông tại , nên . Từ đó suy ra:
c) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
- Gọi là giao điểm của và .
- là trung điểm của , tức là .
Để chứng minh thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng nằm trên đường thẳng .
- Từ (chứng minh ở phần a), ta có:
-
-
- Xét tam giác với là trung điểm của , ta có:
-
- Do vuông góc với , nên là đường cao của tam giác . Vì là trung điểm của , nên cũng nằm trên đường trung bình của tam giác .
- Từ đó, nằm trên đường thẳng , vì là đường phân giác và cũng là đường trung bình của tam giác .
Vậy, 3 điểm thẳng hàng.
Bài 7:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.
a) Chứng minh:
- Tam giác ABC cân tại A, do đó .
- M là trung điểm của BC, nên .
- AM là cạnh chung của hai tam giác và .
Vậy, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có .
b) Chứng minh: AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC
- Từ phần a), ta đã chứng minh , do đó .
- Vì M là trung điểm của BC, nên .
- AM là cạnh chung.
Vì , nên AM vuông góc với BC tại M và AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
c) Lấy N trên đường thẳng AM sao cho M nằm giữa A và N. Chứng minh: cân tại N
- Vì AM là đường trung trực của BC, nên AM vuông góc với BC tại M và .
- Nằm trên đường trung trực AM, nên .
Do đó, cân tại N.
d) Chứng minh: và NA là tia phân giác của góc BNC
- Từ phần a), ta có .
- Đã chứng minh từ phần c).
- NA là cạnh chung của hai tam giác và .
Vậy, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có .
- Vì , nên .
Do đó, NA là tia phân giác của góc BNC.