Giúp em với

Câu 80: Để giải bất phương trình \( y' < 0 \) cho hàm số \( y = x^3 - 3x + 2017 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2017) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải bất phương trình \( y' < 0 \): \[ 3x^2 - 3 < 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 1 < 0 \] Viết lại dưới dạng: \[ x^2 < 1 \] Giải bất phương trình này: \[ -1 < x < 1 \] 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( y' < 0 \) là: \[ S = (-1, 1) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~S=(-1;1)} \] Câu 81: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + 2x^2 - 3 \) và sau đó xác định khoảng nào mà đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f(x) = x^4 + 2x^2 - 3 \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3) \] \[ f'(x) = 4x^3 + 4x \] Bước 2: Giải bất phương trình \( f'(x) > 0 \): \[ 4x^3 + 4x > 0 \] \[ 4x(x^2 + 1) > 0 \] Bước 3: Xác định dấu của \( 4x(x^2 + 1) \): - \( 4x \) là một đa thức bậc nhất, nó sẽ dương khi \( x > 0 \) và âm khi \( x < 0 \). - \( x^2 + 1 \) luôn dương vì \( x^2 \geq 0 \) và \( x^2 + 1 \geq 1 \). Do đó: - Khi \( x > 0 \), \( 4x \) dương và \( x^2 + 1 \) dương, nên \( 4x(x^2 + 1) > 0 \). - Khi \( x < 0 \), \( 4x \) âm và \( x^2 + 1 \) dương, nên \( 4x(x^2 + 1) < 0 \). Vậy \( f'(x) > 0 \) khi \( x > 0 \). Đáp án đúng là: \[ C.~x > 0 \] Câu 82: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho đạo hàm của hàm số \( f(x) = -x^3 + 3mx^2 - 12x + 3 \) thỏa mãn điều kiện \( f'(x) \leq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3mx^2 - 12x + 3) = -3x^2 + 6mx - 12 \] Bước 2: Để \( f'(x) \leq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), đạo hàm \( f'(x) \) phải là một hàm bậc hai có đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới hoặc tiếp xúc trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức của \( f'(x) \) không dương (\( \Delta \leq 0 \)). Bước 3: Tính biệt thức của \( f'(x) \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (6m)^2 - 4(-3)(-12) = 36m^2 - 144 \] Bước 4: Đặt điều kiện cho biệt thức: \[ 36m^2 - 144 \leq 0 \] \[ 36m^2 \leq 144 \] \[ m^2 \leq 4 \] \[ -2 \leq m \leq 2 \] Bước 5: Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-2, 2]\) là: \[ m = -2, -1, 0, 1, 2 \] Vậy có 5 giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện \( f'(x) \leq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Đáp án đúng là: B. 5. Câu 83: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x + 3} \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai và đạo hàm của đa thức. Bước 1: Xác định hàm số và điều kiện xác định. \[ y = \sqrt{x^2 - 2x + 3} \] Điều kiện xác định của hàm số này là: \[ x^2 - 2x + 3 > 0 \] Ta thấy rằng \( x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2 \), luôn dương với mọi \( x \). Do đó, hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm của \( y \). \[ y = \sqrt{x^2 - 2x + 3} \] Sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \] Trong đó \( u = x^2 - 2x + 3 \). Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x + 3) = 2x - 2 \] Thay vào công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x + 3}} \] \[ y' = \frac{2(x - 1)}{2\sqrt{x^2 - 2x + 3}} \] \[ y' = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} \] Bước 3: So sánh với biểu thức đã cho. \[ y' = \frac{ax + b}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} \] So sánh với kết quả vừa tính: \[ \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} = \frac{ax + b}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} \] Do đó: \[ ax + b = x - 1 \] Bước 4: Xác định giá trị của \( a \) và \( b \). \[ a = 1 \] \[ b = -1 \] Bước 5: Tính giá trị của \( ab \). \[ ab = 1 \times (-1) = -1 \] Vậy giá trị của \( ab \) là: \[ \boxed{-1} \] Câu 84: Phương trình chuyển động của vật là \( s = t^3 - 3t^2 + 5t + 2 \). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t \) là đạo hàm bậc hai của quãng đường \( s \) theo thời gian \( t \). Bước 1: Tính vận tốc \( v \): \[ v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t + 5 \] Bước 2: Tính gia tốc \( a \): \[ a = \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] Bước 3: Thay \( t = 3 \) vào công thức gia tốc: \[ a(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của chuyển động khi \( t = 3 \) là \( 12 \text{ m/s}^2 \). Đáp án đúng là: \( B.~12~m/s^2 \). Câu 85: Phương trình chuyển động của chất điểm là \( s = 2t^2 + 3t \). Để tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t_0 = 2 \), chúng ta cần tính đạo hàm của \( s \) theo \( t \). Đạo hàm của \( s \) theo \( t \) là: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 4t + 3 \] Thay \( t_0 = 2 \) vào biểu thức trên: \[ v(2) = 4(2) + 3 = 8 + 3 = 11 \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t_0 = 2 \) là \( 11 \, (m/s) \). Đáp án đúng là: \( D.~11(m/s) \). Câu 86: Phương trình chuyển động của chất điểm là \( S = 2t^4 + 6t^2 - 3t + 1 \). Để tìm gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc \( v(t) \): Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm bậc nhất của quãng đường \( S \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^4 + 6t^2 - 3t + 1) \] Ta có: \[ v(t) = 8t^3 + 12t - 3 \] 2. Tìm gia tốc \( a(t) \): Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm bậc hai của quãng đường \( S \) theo thời gian \( t \), hoặc đạo hàm bậc nhất của vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t^3 + 12t - 3) \] Ta có: \[ a(t) = 24t^2 + 12 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) giây: Thay \( t = 3 \) vào biểu thức của \( a(t) \): \[ a(3) = 24(3)^2 + 12 = 24 \cdot 9 + 12 = 216 + 12 = 228 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( 228 \text{ m/s}^2 \). Đáp án đúng là: \( B.~228(m/s^2) \). Câu 87: Phương trình chuyển động là $s=t^3-3t^2+5t+2.$ Vận tốc của chuyển động là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: \[ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 5. \] Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $v(t) = 3t^2 - 6t + 5$ trên miền xác định của nó. Hàm số $v(t)$ là một hàm bậc hai có dạng $at^2 + bt + c$, trong đó $a = 3 > 0$. Do đó, đồ thị của hàm này là một parabol mở lên, và giá trị lớn nhất của hàm này sẽ đạt được tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol có tọa độ $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$. Thay $t = 1$ vào hàm vận tốc để tìm giá trị lớn nhất: \[ v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2. \] Do đó, vận tốc lớn nhất của chuyển động là 2 m/s. Đáp án đúng là: A. 2 m/s.