Tìm các giá trị m.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt \( t = \log_2 x \). Khi đó, \( x = 2^t \). 2. Thay \( t \) vào phương trình ban đầu: \[ \log^2_2(2x) + \log_2 x + m - 1 = 0 \] Ta có: \[ \log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x \] Do đó: \[ (\log_2(2x))^2 = (1 + \log_2 x)^2 = (1 + t)^2 \] Phương trình trở thành: \[ (1 + t)^2 + t + m - 1 = 0 \] 3. Khai triển và đơn giản hóa phương trình: \[ (1 + t)^2 + t + m - 1 = 0 \] \[ 1 + 2t + t^2 + t + m - 1 = 0 \] \[ t^2 + 3t + m = 0 \] 4. Để phương trình \( t^2 + 3t + m = 0 \) có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \( (0;1) \), ta cần xét các điều kiện sau: - Phương trình \( t^2 + 3t + m = 0 \) phải có 2 nghiệm phân biệt. - Các nghiệm này phải nằm trong khoảng \( (0;1) \). 5. Điều kiện để phương trình \( t^2 + 3t + m = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt là: \[ \Delta > 0 \] \[ 9 - 4m > 0 \] \[ m < \frac{9}{4} \] 6. Gọi các nghiệm của phương trình \( t^2 + 3t + m = 0 \) là \( t_1 \) và \( t_2 \). Ta cần đảm bảo rằng \( t_1 \) và \( t_2 \) nằm trong khoảng \( (0;1) \). 7. Áp dụng định lý Vi-ét: \[ t_1 + t_2 = -3 \] \[ t_1 t_2 = m \] 8. Để \( t_1 \) và \( t_2 \) nằm trong khoảng \( (0;1) \), ta cần: \[ 0 < t_1 < 1 \quad \text{và} \quad 0 < t_2 < 1 \] 9. Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ 0 < t_1 < 1 \quad \text{và} \quad 0 < t_2 < 1 \] \[ t_1 + t_2 = -3 \quad \text{(không thể thỏa mãn vì tổng của hai số dương không thể âm)} \] Do đó, không tồn tại giá trị \( m \) nào để phương trình \( \log^2_2(2x) + \log_2 x + m - 1 = 0 \) có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \( (0;1) \). Kết luận: Không tồn tại giá trị \( m \) nào thỏa mãn điều kiện đề bài.