làm giúp vs toán 10

Để chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \( n \) chia hết cho 3 là \( n^2 \) chia hết cho 3, chúng ta sẽ chứng minh theo hai chiều: chiều thuận và chiều đảo. Chiều thuận: Nếu \( n \) chia hết cho 3 thì \( n^2 \) chia hết cho 3. Giả sử \( n \) chia hết cho 3, tức là \( n = 3k \) với \( k \) là một số nguyên. Ta có: \[ n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) \] Vì \( 3k^2 \) là một số nguyên, nên \( n^2 \) chia hết cho 3. Chiều đảo: Nếu \( n^2 \) chia hết cho 3 thì \( n \) chia hết cho 3. Giả sử \( n^2 \) chia hết cho 3, tức là \( n^2 = 3m \) với \( m \) là một số nguyên. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử \( n \) không chia hết cho 3, tức là \( n \) có thể viết dưới dạng \( n = 3k + r \) với \( r \) là số dư khi chia \( n \) cho 3 và \( r \) có thể là 1 hoặc 2. - Nếu \( n = 3k + 1 \): \[ n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 \] Số này không chia hết cho 3 vì còn dư 1. - Nếu \( n = 3k + 2 \): \[ n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 \] Số này cũng không chia hết cho 3 vì còn dư 1. Do đó, giả sử \( n \) không chia hết cho 3 dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết \( n^2 \) chia hết cho 3. Vậy \( n \) phải chia hết cho 3. Kết luận: Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \( n \) chia hết cho 3 là \( n^2 \) chia hết cho 3. Câu 11: Để tìm tất cả các giá trị thực của \( x \) sao cho mệnh đề \( P: "x^2 + 5x + 4 = 0" \) là mệnh đề sai, chúng ta cần giải phương trình \( x^2 + 5x + 4 = 0 \) và sau đó xác định các giá trị của \( x \) khác với các nghiệm này. Bước 1: Giải phương trình \( x^2 + 5x + 4 = 0 \). Phương trình \( x^2 + 5x + 4 = 0 \) là một phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. \( x^2 + 5x + 4 = 0 \) Ta tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 4. Hai số đó là 1 và 4. Do đó, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \( (x + 1)(x + 4) = 0 \) Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình. Phương trình \( (x + 1)(x + 4) = 0 \) có nghiệm khi ít nhất một trong các nhân tử bằng 0. \( x + 1 = 0 \) hoặc \( x + 4 = 0 \) Giải các phương trình này, ta được: \( x = -1 \) hoặc \( x = -4 \) Bước 3: Xác định các giá trị của \( x \) để mệnh đề \( P \) là sai. Mệnh đề \( P \) là sai khi \( x \) không phải là nghiệm của phương trình \( x^2 + 5x + 4 = 0 \). Do đó, các giá trị của \( x \) để mệnh đề \( P \) là sai là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = -1 \) và \( x = -4 \). Vậy, các giá trị thực của \( x \) để mệnh đề \( P \) là sai là: \( x \neq -1 \) và \( x \neq -4 \) Đáp số: Tất cả các giá trị thực của \( x \) ngoại trừ \( x = -1 \) và \( x = -4 \). Câu 12: Để xác định các giá trị của \( n \) sao cho \( P(n) \) là mệnh đề đúng, chúng ta cần tìm các số tự nhiên \( n \) nhỏ hơn 50 và chia hết cho 12. Các số tự nhiên chia hết cho 12 và nhỏ hơn 50 là: \[ 12, 24, 36, 48 \] Bây giờ, chúng ta kiểm tra từng số này: - \( 12 \) là số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 12. - \( 24 \) là số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 12. - \( 36 \) là số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 12. - \( 48 \) là số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 12. Vậy các giá trị của \( n \) thỏa mãn \( P(n) \) là mệnh đề đúng là \( 12, 24, 36, 48 \). Số các giá trị của \( n \) là: \[ 4 \] Đáp số: Các giá trị của \( n \) là \( 12, 24, 36, 48 \). Số các giá trị của \( n \) là 4. Câu 13: Để xét tính đúng, sai của các mệnh đề đã cho, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. 1. Mệnh đề M: "x là một số hữu tỉ" - Một số hữu tỉ là một số có thể biểu diễn dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên và $b \neq 0$. - Mệnh đề này không có thông tin cụ thể về giá trị của $x$, do đó không thể xác định được tính đúng hay sai của mệnh đề M chỉ dựa vào thông tin đã cho. Vì vậy, mệnh đề M có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị cụ thể của $x$. 2. Mệnh đề N: "Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba" - Đây là một mệnh đề liên quan đến bất đẳng thức tam giác, một định lý cơ bản trong hình học. - Định lý bất đẳng thức tam giác phát biểu rằng trong một tam giác, tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại. - Do đó, mệnh đề N là một mệnh đề đúng, vì nó chính là phát biểu của định lý bất đẳng thức tam giác. Tóm lại: - Mệnh đề M có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị cụ thể của $x$. - Mệnh đề N là một mệnh đề đúng. Câu 14: Mệnh đề M: Số nguyên tố lớn hơn 2 là số lẻ. Lập luận: - Một số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó. - Nếu một số nguyên tố lớn hơn 2 là số chẵn, thì nó sẽ chia hết cho 2, mâu thuẫn với định nghĩa số nguyên tố (vì số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó). - Do đó, mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều phải là số lẻ. Kết luận: Mệnh đề M là đúng. Mệnh đề N: Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. Lập luận: - Theo quy tắc chia hết cho 5, một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. - Điều này hoàn toàn đúng với quy tắc đã biết. Kết luận: Mệnh đề N là đúng. Mệnh đề P: Bình phương tất cả các số nguyên đều chia hết cho 2. Lập luận: - Xét các trường hợp: - Nếu số nguyên là số chẵn (ví dụ: 2, 4, 6, ...), bình phương của chúng cũng là số chẵn (ví dụ: 4, 16, 36, ...), do đó chia hết cho 2. - Nếu số nguyên là số lẻ (ví dụ: 1, 3, 5, ...), bình phương của chúng cũng là số lẻ (ví dụ: 1, 9, 25, ...), do đó không chia hết cho 2. Kết luận: Mệnh đề P là sai vì bình phương của các số lẻ không chia hết cho 2. Câu 15: Mệnh đề phủ định của P là: "Phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) vô nghiệm". Ta sẽ kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này bằng cách xét biệt thức \(\Delta\) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \). Trong phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \), ta có: - \( a = 1 \) - \( b = 1 \) - \( c = 1 \) Tính biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Vì \(\Delta < 0\), phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) không có nghiệm thực. Do đó, mệnh đề phủ định "Phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) vô nghiệm" là đúng.