Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ nhỏ hơn $1000$ chia cho $6$ dư $1$ và chia cho $5$ dư $3$?

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm các số tự nhiên $ n $ nhỏ hơn 1000 chia cho 6 dư 1 và chia cho 5 dư 3, ta làm như sau:

1. Số $ n $ chia cho 6 dư 1 có dạng:
   $$
   n = 6k + 1 \quad (k \in \mathbb{Z})
   $$

2. Số $ n $ chia cho 5 dư 3 có dạng:
   $$
   n = 5m + 3 \quad (m \in \mathbb{Z})
   $$

3. Ta cần tìm $ n $ thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Do đó, ta có:
   $$
   6k + 1 = 5m + 3
   $$
   $$
   6k - 5m = 2
   $$

4. Ta sẽ tìm các giá trị $ k $ và $ m $ sao cho $ n < 1000 $.

5. Ta thử các giá trị $ k $ để tìm $ n $:
   - Khi $ k = 0 $:
     $$
     n = 6(0) + 1 = 1
     $$
     Kiểm tra: $ 1 \div 5 = 0 $ dư 1 (không thỏa mãn)
   
   - Khi $ k = 1 $:
     $$
     n = 6(1) + 1 = 7
     $$
     Kiểm tra: $ 7 \div 5 = 1 $ dư 2 (không thỏa mãn)

- Khi $ k = 2 $:
     $$
     n = 6(2) + 1 = 13
     $$
     Kiểm tra: $ 13 \div 5 = 2 $ dư 3 (thỏa mãn)

- Tiếp tục kiểm tra các giá trị $ k $ khác:
     $$
     n = 6k + 1
     $$
     $$
     n = 5m + 3
     $$

6. Ta thấy rằng $ n $ phải có dạng $ 30p + 13 $ (vì 30 là bội chung nhỏ nhất của 6 và 5):
   $$
   n = 30p + 13 \quad (p \in \mathbb{Z})
   $$

7. Ta cần tìm $ p $ sao cho $ n < 1000 $:
   $$
   30p + 13 < 1000
   $$
   $$
   30p < 987
   $$
   $$
   p < 32.9
   $$
   $$
   p \leq 32
   $$

8. Vậy $ p $ có thể nhận các giá trị từ 0 đến 32, tức là có 33 giá trị của $ p $.

Do đó, có 33 số tự nhiên $ n $ nhỏ hơn 1000 chia cho 6 dư 1 và chia cho 5 dư 3.

Đáp số: 33 số.