Giải hộ mình câu này với các bạn
Tìm số dư trong phép chia bằng đồng dư
a) 6∧635 chia cho 11
b) 17∧2025 chia cho 6
c) 2∧70 + 3∧70 chia cho 13
d) 53∧999 chia cho 17

Question

gaidepcuto · Accepted Answer

{"userId":5288582,"userName":"Hà Vũ"}

a) $61635$ chia $11$

Tính tổng chữ số xen kẽ: $(5+6+6) − (3+1) = 17−4 = 13$

$13$ chia $11$ dư $2$

$→$ Số dư $= 2$

b) $17^{2025}$ chia $6$

$17 ≡ 5 (mod 6)$

$→$ $17^{2025} ≡ 5^{2025} ≡ (-1)^{2025} ≡ -1 ≡ 5 \pmod{6}$

$→$ Số dư $ = 5$

c) $2^{70} + 3^{70}$ chia $13$

$2^6 ≡ 1 \pmod{13} \Rightarrow 2^{70} = (2^6)^{11}·2^4 ≡ 1^{11}·16 ≡ 3$

$3^3 ≡ 1 \pmod{13} \Rightarrow 3^{69} ≡ 1 \Rightarrow 3^{70} ≡ 3$

$→$ $2^{70} + 3^{70} ≡ 3+3 = 6$

$→$ Số dư $= 16$

d) $531999 $ chia $17$

$531999 ÷ 17 = 31294$ dư $3$

$→$ Số dư $= 3$

Timi · Answer

a) Ta có 6 ≡ -5 (mod 11)
6^2 ≡ (-5)^2 ≡ 25 ≡ 3 (mod 11)
6^3 ≡ 6^2 × 6 ≡ 3 × 6 ≡ 18 ≡ 7 (mod 11)
6^4 ≡ 6^3 × 6 ≡ 7 × 6 ≡ 42 ≡ 9 (mod 11)
6^5 ≡ 6^4 × 6 ≡ 9 × 6 ≡ 54 ≡ 10 (mod 11)
6^6 ≡ 6^5 × 6 ≡ 10 × 6 ≡ 60 ≡ 5 (mod 11)
6^7 ≡ 6^6 × 6 ≡ 5 × 6 ≡ 30 ≡ 8 (mod 11)
6^8 ≡ 6^7 × 6 ≡ 8 × 6 ≡ 48 ≡ 4 (mod 11)
6^9 ≡ 6^8 × 6 ≡ 4 × 6 ≡ 24 ≡ 2 (mod 11)
6^10 ≡ 6^9 × 6 ≡ 2 × 6 ≡ 12 ≡ 1 (mod 11)

Ta thấy rằng 6^10 ≡ 1 (mod 11). Do đó, 6^(10k) ≡ 1 (mod 11) với mọi k nguyên dương.

6^635 = 6^(10×63 + 5) = 6^(10×63) × 6^5 ≡ 1 × 6^5 ≡ 6^5 ≡ 10 (mod 11)

Vậy số dư của 6^635 khi chia cho 11 là 10.

b) Ta có 17 ≡ 5 (mod 6)
17^2 ≡ 5^2 ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

Ta thấy rằng 17^2 ≡ 1 (mod 6). Do đó, 17^(2k) ≡ 1 (mod 6) với mọi k nguyên dương.

17^2025 = 17^(2×1012 + 1) = 17^(2×1012) × 17 ≡ 1 × 17 ≡ 17 ≡ 5 (mod 6)

Vậy số dư của 17^2025 khi chia cho 6 là 5.

c) Ta có 2^70 ≡ 2^(70 mod 12) ≡ 2^10 ≡ 1024 ≡ 10 (mod 13)
3^70 ≡ 3^(70 mod 12) ≡ 3^10 ≡ 59049 ≡ 3 (mod 13)

Do đó, 2^70 + 3^70 ≡ 10 + 3 ≡ 13 ≡ 0 (mod 13)

Vậy số dư của 2^70 + 3^70 khi chia cho 13 là 0.

d) Ta có 53 ≡ 2 (mod 17)
53^2 ≡ 2^2 ≡ 4 (mod 17)
53^3 ≡ 2^3 ≡ 8 (mod 17)
53^4 ≡ 2^4 ≡ 16 (mod 17)
53^5 ≡ 2^5 ≡ 15 (mod 17)
53^6 ≡ 2^6 ≡ 13 (mod 17)
53^7 ≡ 2^7 ≡ 9 (mod 17)
53^8 ≡ 2^8 ≡ 1 (mod 17)

Ta thấy rằng 53^8 ≡ 1 (mod 17). Do đó, 53^(8k) ≡ 1 (mod 17) với mọi k nguyên dương.

53^999 = 53^(8×124 + 7) = 53^(8×124) × 53^7 ≡ 1 × 53^7 ≡ 53^7 ≡ 9 (mod 17)

Vậy số dư của 53^999 khi chia cho 17 là 9.

Giải hộ mình câu này với các bạn Tìm số dư trong phép chia bằng đồng dư a) 6∧635 chia cho 11 b) 17∧2025 chia cho 6 c) 2∧70 + 3∧70 chia cho 13 d) 53∧999 chia cho 17