Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Yêu cầu: Hãy đếm số bit 1 trong biểu diễn nhị phân của các số nguyên từ 1 đến n. Ví dụ,với $n=6$ thì các biểu diễn nhị phân của 1...6 là 1, 10, 11, 100, 101 và 110, do đó có tổng,cộng 9 bit 1.,Dữ liệu: Cho trong tệp văn bản BITSUM.INP chứa số nguyên dương n.,Kết quả: Ghi ra tệp văn bản BITSUM.OUT số bit 1 trong biểu diễn nhị phân của các số,nguyên từ 1 đến n.,Ràng buộc:,• Có 50% số test của bài có $n\leq1000.$,• Có 50% số test còn lại của bài có $n\leq10^{12}.$,• Thời gian chạy chương trình không quá 2 giây.,Ví dụ:,BITSUM.INP BITSUM.OUT,6 9

Question

Accepted Answer

Bài toán yêu cầu đếm tổng số bit 1 trong biểu diễn nhị phân của tất cả các số từ 1 đến n, với n có thể rất lớn (lên đến 10^12), nên cách làm đơn giản như duyệt từng số và đếm bit 1 sẽ không hiệu quả. Để giải bài này trong thời gian nhanh, ta cần dùng phương pháp đệ quy hoặc công thức đếm bit 1 dựa trên phân tích bit. ### Ý tưởng giải bài toán: 1. Tìm số mũ k sao cho $2^k \leq n < 2^{k+1}$. 2. Đếm số bit 1 trong các số từ 1 đến $2^k - 1$ (đây là một công thức có thể tính nhanh). 3. Đếm số bit 1 trong phần còn lại từ $2^k$ đến n. 4. Tổng lại sẽ được kết quả. ### Công thức đếm số bit 1 từ 1 đến $2^k - 1$: $$ \text{countOnes}(2^k - 1) = k \times 2^{k-1} $$ Ví dụ: từ 1 đến 7 (7 = $2^3 - 1$) có tổng số bit 1 là $3 \times 2^{2} = 12$. ### Công thức đệ quy: Gọi hàm $f(n)$ là tổng số bit 1 từ 1 đến n. - Tìm $k$ sao cho $2^k \leq n < 2^{k+1}$. - Gọi $p = 2^k$. - Khi đó: $$ f(n) = f(p - 1) + (n - p + 1) + f(n - p) $$ Giải thích: - $f(p - 1)$ là tổng bit 1 từ 1 đến $p-1$. - $(n - p + 1)$ là số bit 1 ở bit thứ k (bit cao nhất) trong các số từ $p$ đến $n$ (vì bit cao nhất của các số này đều là 1). - $f(n - p)$ là tổng bit 1 trong phần còn lại (các số từ 0 đến $n-p$). ### Thuật toán: ```python def count_ones(n): if n == 0: return 0 k = n.bit_length() - 1 # tìm k sao cho 2^k <= n < 2^(k+1) p = 1 << k # 2^k if n == p - 1: return k * (p >> 1) return count_ones(p - 1) + (n - p + 1) + count_ones(n - p) ``` ### Áp dụng với ví dụ n=6: - $k=2$ vì $2^2=4 \leq 6 < 8=2^3$ - $p=4$ - $f(3) = 2 \times 2^{1} = 4$ - $(6 - 4 + 1) = 3$ - $f(6 - 4) = f(2)$ - Tính $f(2)$: - $k=1$, $p=2$ - $f(1) = 1 \times 2^{0} = 1$ - $(2 - 2 + 1) = 1$ - $f(0) = 0$ - $f(2) = 1 + 1 + 0 = 2$ - Tổng: $4 + 3 + 2 = 9$ đúng với ví dụ. --- Bạn có thể dùng thuật toán này để giải bài trong thời gian nhanh, phù hợp với n lên đến 10^12. Nếu bạn cần, mình có thể giúp viết đoạn code hoàn chỉnh để đọc file BITSUM.INP và ghi kết quả ra BITSUM.OUT. Bạn có muốn không?