Cho ΔABC cân tại A và góc A nhỏ hơn 90 độ. CD là tia phân giác của góc ACB ( D∈AB ). Từ D kẻ DE⊥AC tại E, DF⊥BC tại F. Đường thẳng DE cắt BC tại K, đường thẳng DF cắt AC tại H. (có vẽ hình và không dùn...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh: ΔECD = ΔFCD - Xét hai tam giác ΔECD và ΔFCD: - Ta có CD là cạnh chung. - DE ⊥ AC và DF ⊥ BC, do đó góc EDC = góc FDC = 90 độ. - Vì CD là tia phân giác của góc ACB, nên góc ECD = góc FCD. Vậy, ΔECD = ΔFCD (cạnh huyền - góc nhọn). b) Chứng minh: ΔECK = ΔFCH - Xét hai tam giác ΔECK và ΔFCH: - Ta có góc ECK = góc FCH (vì DE ⊥ AC và DF ⊥ BC, nên DE và DF là các đường cao). - Góc ECK = góc FCH (vì DE và DF là các đường cao, nên góc này là góc vuông). - CD là tia phân giác của góc ACB, nên góc ECD = góc FCD. Vậy, ΔECK = ΔFCH (góc - góc - cạnh). c) Gọi M là trung điểm của HK. Chứng minh: 3 điểm C, D, M thẳng hàng - Vì M là trung điểm của HK, nên HM = MK. - Từ ΔECK = ΔFCH, ta có CK = CH. - Do đó, CM là đường trung bình của tam giác ΔHKC, nên CM song song với HK. - Vì DE ⊥ AC và DF ⊥ BC, nên DE và DF là các đường cao, do đó HK là đường trung bình của tam giác ΔHKC. - Vậy, C, D, M thẳng hàng. d) Đường thẳng qua A vuông góc với HD cắt CM tại I. Chứng minh tam giác IKD cân - Gọi I là giao điểm của đường thẳng qua A vuông góc với HD và CM. - Vì AI ⊥ HD, nên góc AID = 90 độ. - Vì M là trung điểm của HK, nên CM là đường trung bình của tam giác ΔHKC. - Do đó, CI = IM. - Vì C, D, M thẳng hàng, nên ID = IM. Vậy, tam giác IKD cân tại I. Trên đây là các bước lập luận chi tiết để giải quyết bài toán.