1.cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DM vuông góc với BC tại M, gọi K là giao điểm của MD và tia BA, gọi N là trung điểm của KC. Chứng minh:
a. AD=MD
b. tam giác BKC cân
c. ba điểm B,D,N thẳng hàng

2.trong một buổi tập bơi, ba bạn An, Bách và Cảnh lần lượt bơi theo các đường bơi AM, BM, CM. Biết ba điểm A,B,C thẳng hàng và AM vuông góc với BC và góc BMA=50 độ, góc CMA=40 độ. So sánh quãng đường bơi của ba bạn và giải thích.

Question

1.cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DM vuông góc với BC tại M, gọi K là giao điểm của MD và tia BA, gọi N là trung điểm của KC. Chứng minh:
a.	AD=MD
b.	tam giác BKC cân
c.	ba điểm B,D,N thẳng hàng

2.trong một buổi tập bơi, ba bạn An, Bách và Cảnh lần lượt bơi theo các đường bơi AM, BM, CM. Biết ba điểm A,B,C thẳng hàng và AM vuông góc với BC và góc BMA=50 độ, góc CMA=40 độ. So sánh quãng đường bơi của ba bạn và giải thích.

Timi · Accepted Answer

Bài 1:

Cho tam giác $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, đường phân giác $ BD $. Kẻ $ DM $ vuông góc với $ BC $ tại $ M $, gọi $ K $ là giao điểm của $ MD $ và tia $ BA $, gọi $ N $ là trung điểm của $ KC $.

a. Chứng minh $ AD = MD $

- Vì $ DM $ vuông góc với $ BC $ tại $ M $, nên $ DM $ là đường cao của tam giác $ \triangle BDC $.
- Trong tam giác vuông $ \triangle ABD $, $ AD $ là đường phân giác, nên theo tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông, ta có:
  $$
  AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC}
  $$
- Tương tự, trong tam giác vuông $ \triangle BDC $, $ DM $ là đường cao, nên:
  $$
  DM = \frac{2 \cdot BD \cdot DC}{BD + DC}
  $$
- Do $ BD $ là đường phân giác của $ \triangle ABC $, nên $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $.
- Từ đó, ta có $ AD = MD $.

b. Chứng minh tam giác $ BKC $ cân

- Vì $ N $ là trung điểm của $ KC $, nên $ KN = NC $.
- Do $ DM $ là đường cao và cũng là đường trung trực của $ KC $ (vì $ N $ là trung điểm), nên $ BK = KC $.
- Vậy tam giác $ \triangle BKC $ cân tại $ K $.

c. Chứng minh ba điểm $ B, D, N $ thẳng hàng

- Ta đã có $ N $ là trung điểm của $ KC $ và $ DM $ là đường trung trực của $ KC $.
- Do đó, $ D $ nằm trên đường trung trực của $ KC $, tức là $ D $ nằm trên đường thẳng $ BN $.
- Vậy ba điểm $ B, D, N $ thẳng hàng.

Bài 2:

Trong một buổi tập bơi, ba bạn An, Bách và Cảnh lần lượt bơi theo các đường bơi $ AM, BM, CM $. Biết ba điểm $ A, B, C $ thẳng hàng và $ AM $ vuông góc với $ BC $ và góc $ BMA = 50^\circ $, góc $ CMA = 40^\circ $.

So sánh quãng đường bơi của ba bạn

- Vì $ AM $ vuông góc với $ BC $, nên $ AM $ là đường cao từ $ A $ xuống $ BC $.
- Trong tam giác vuông $ \triangle ABM $, góc $ BMA = 50^\circ $, nên:
  $$
  \text{Quãng đường } AM = AB \cdot \sin(50^\circ)
  $$
- Trong tam giác vuông $ \triangle ACM $, góc $ CMA = 40^\circ $, nên:
  $$
  \text{Quãng đường } AM = AC \cdot \sin(40^\circ)
  $$
- Vì $ A, B, C $ thẳng hàng và $ AM $ vuông góc với $ BC $, nên $ AM $ là đường cao chung cho cả hai tam giác $ \triangle ABM $ và $ \triangle ACM $.
- Do đó, quãng đường bơi của An là ngắn nhất vì $ AM $ là đường cao, trong khi quãng đường bơi của Bách và Cảnh phụ thuộc vào độ dài của $ AB $ và $ AC $ tương ứng với các góc $ BMA $ và $ CMA $.

Kết luận: Quãng đường bơi của An là ngắn nhất, tiếp theo là Bách và cuối cùng là Cảnh.

1.cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DM vuông góc với BC tại M, gọi K là giao điểm của MD và tia BA, gọi N là trung điểm của KC. Chứng minh: a. AD=MD b. tam giác BKC cân c. ba điểm B,...