Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2-4x+3.$,b) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}=5x-3.$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp đã nêu trong chủ đề "Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó", "Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó", và "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó". Đồng thời, chúng ta cũng sẽ tuân thủ các quy tắc đã đưa ra.

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $ y = x^2 - 4x + 3 $.

Bước 1: Tìm đỉnh của parabol
Hàm số $ y = x^2 - 4x + 3 $ là một hàm số bậc hai có dạng $ y = ax^2 + bx + c $, trong đó $ a = 1 $, $ b = -4 $, và $ c = 3 $.

Đỉnh của parabol có tọa độ $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $.

- Tính $ -\frac{b}{2a} $:
  $$
  -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2
  $$

- Tính giá trị của hàm số tại $ x = 2 $:
  $$
  y = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
  $$

Vậy đỉnh của parabol là $ (2, -1) $.

Bước 2: Lập bảng biến thiên
Chúng ta sẽ chọn một số giá trị của $ x $ quanh đỉnh để lập bảng biến thiên.

| $ x $ | $ y = x^2 - 4x + 3 $ |
|---------|--------------------------|
| 0       | $ 0^2 - 4 \times 0 + 3 = 3 $ |
| 1       | $ 1^2 - 4 \times 1 + 3 = 0 $ |
| 2       | $ 2^2 - 4 \times 2 + 3 = -1 $ |
| 3       | $ 3^2 - 4 \times 3 + 3 = 0 $ |
| 4       | $ 4^2 - 4 \times 4 + 3 = 3 $ |

Bước 3: Vẽ đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số $ y = x^2 - 4x + 3 $. Đồ thị này là một parabol mở lên với đỉnh tại $ (2, -1) $.

b) Giải phương trình: $ \sqrt{3x + 1} = 5x - 3 $.

Bước 1: Điều kiện xác định
Điều kiện xác định của phương trình là:
$$
3x + 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad 5x - 3 \geq 0
$$
$$
x \geq -\frac{1}{3} \quad \text{và} \quad x \geq \frac{3}{5}
$$
Vậy điều kiện xác định là $ x \geq \frac{3}{5} $.

Bước 2: Bình phương hai vế
Bình phương hai vế của phương trình:
$$
(\sqrt{3x + 1})^2 = (5x - 3)^2
$$
$$
3x + 1 = 25x^2 - 30x + 9
$$

Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế
$$
25x^2 - 30x + 9 - 3x - 1 = 0
$$
$$
25x^2 - 33x + 8 = 0
$$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
Trong đó $ a = 25 $, $ b = -33 $, và $ c = 8 $.

- Tính biệt thức $ \Delta $:
  $$
  \Delta = (-33)^2 - 4 \times 25 \times 8 = 1089 - 800 = 289
  $$

- Tính nghiệm:
  $$
  x = \frac{33 \pm \sqrt{289}}{50} = \frac{33 \pm 17}{50}
  $$

$$
  x_1 = \frac{33 + 17}{50} = \frac{50}{50} = 1
  $$
  $$
  x_2 = \frac{33 - 17}{50} = \frac{16}{50} = \frac{8}{25}
  $$

Bước 5: Kiểm tra nghiệm
Kiểm tra $ x = 1 $ và $ x = \frac{8}{25} $ trong phương trình ban đầu:
- Với $ x = 1 $:
  $$
  \sqrt{3 \times 1 + 1} = 5 \times 1 - 3
  $$
  $$
  \sqrt{4} = 2 \quad \text{(đúng)}
  $$

- Với $ x = \frac{8}{25} $:
  $$
  \sqrt{3 \times \frac{8}{25} + 1} = 5 \times \frac{8}{25} - 3
  $$
  $$
  \sqrt{\frac{24}{25} + 1} = \frac{40}{25} - 3
  $$
  $$
  \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{40}{25} - 3
  $$
  $$
  \frac{7}{5} \neq \frac{40}{25} - 3 \quad \text{(sai)}
  $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 1 $.

Kết luận
a) Đỉnh của parabol là $ (2, -1) $ và đồ thị của hàm số $ y = x^2 - 4x + 3 $ là một parabol mở lên với đỉnh tại $ (2, -1) $.

b) Nghiệm của phương trình $ \sqrt{3x + 1} = 5x - 3 $ là $ x = 1 $.