Giúp mình với! Câu 10 [863831] [MĐ2]: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có,đáy là tam giác đều cạnh 2, $AA^\prime=3.$,,Lúp ra) tạo guád sòn ob áy minng (B DD)) nhhh cc, Mệnh đề,Đúng,Sai $a)~\overrightarrow{AB^\prime}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB^\prime}.$,, $b)|\overline{BC^\prime}|=\sqrt{13}.$,, $c)~\overrightarrow{AB^\prime}.\overrightarrow{BC^\prime}=11.$,, d) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB^\prime}$ và $\overrightarrow{BC^\prime}$ thì $\cos\alpha=\frac{11}{13}.$,,

Question

Giúp mình với! Câu 10 [863831] [MĐ2]: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A&#x27;B&#x27;C&#x27; có,đáy là tam giác đều cạnh 2, $AA^\prime=3.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/e3407ad11b1c4bdb93828288e238cca3.jpg />,Lúp ra) tạo guád sòn ob áy minng   (B DD))           nhhh  cc,

Mệnh đề,Đúng,Sai
$a)~\overrightarrow{AB^\prime}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB^\prime}.$,,
$b)|\overline{BC^\prime}|=\sqrt{13}.$,,
$c)~\overrightarrow{AB^\prime}.\overrightarrow{BC^\prime}=11.$,,
d) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB^\prime}$ và $\overrightarrow{BC^\prime}$ thì $\cos\alpha=\frac{11}{13}.$,,

Accepted Answer

Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ với $A$ là gốc tọa độ, $A(0,0,0)$.

đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 2, ta có tọa độ các điểm:

$A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(1, \sqrt{3}, 0)$.

lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 3$ và $AA' \perp (ABC)$, ta có:

$A'(0, 0, 3)$, $B'(2, 0, 3)$, $C'(1, \sqrt{3}, 3)$.

a)

Ta có $\vec{AB} + \vec{BB'} = \vec{AB} + \vec{AA'} = \vec{AB'}$.

$\implies$ Mệnh đề a) Đúng

b)

$\vec{BC'} = C' - B = (1-2, \sqrt{3}-0, 3-0) = (-1, \sqrt{3}, 3)$

$|\vec{BC'}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 3 + 9} = \sqrt{13}$

$\implies$ Mệnh đề b) Đún.

c)

$\vec{AB'} = B' - A = (2, 0, 3)$

$\vec{AB'} \cdot \vec{BC'} = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 3 = 7$

$\implies$ Mệnh đề c) Sai

d)

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\vec{AB'}$ và $\vec{BC'}$

$|\vec{AB'}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

$\cos\alpha = \frac{\vec{AB'} \cdot \vec{BC'}}{|\vec{AB'}| \cdot |\vec{BC'}|} = \frac{7}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{7}{13}$

$\implies$ Mệnh đề d) Sai.