tìm m để pt này có 1 nghiệm ( có hình ảnh )

Để phương trình \(\frac{m^2x^2-(2mx+1)x+7}{x-1}=0\) có nghiệm, trước tiên ta cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Phân thức có mẫu là \(x-1\), do đó điều kiện xác định là \(x \neq 1\). Phương trình \(\frac{m^2x^2-(2mx+1)x+7}{x-1}=0\) tương đương với phương trình tử số bằng 0, tức là: \[ m^2x^2 - (2mx + 1)x + 7 = 0. \] Ta có phương trình bậc hai: \[ m^2x^2 - (2mx + 1)x + 7 = 0. \] Phương trình này có dạng: \[ m^2x^2 - (2m+1)x + 7 = 0. \] Để phương trình bậc hai này có một nghiệm, ta cần điều kiện của nghiệm kép, tức là: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 0, \] với \(a = m^2\), \(b = -(2m+1)\), \(c = 7\). Tính \(\Delta\): \[ \Delta = (-(2m+1))^2 - 4 \cdot m^2 \cdot 7. \] \[ \Delta = (2m+1)^2 - 28m^2. \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 28m^2. \] \[ \Delta = -24m^2 + 4m + 1. \] Để \(\Delta = 0\), ta có phương trình: \[ -24m^2 + 4m + 1 = 0. \] Giải phương trình bậc hai này: \[ 24m^2 - 4m - 1 = 0. \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] với \(a = 24\), \(b = -4\), \(c = -1\). Tính \(\Delta'\) cho phương trình này: \[ \Delta' = (-4)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-1). \] \[ \Delta' = 16 + 96. \] \[ \Delta' = 112. \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{48}. \] Tính \(\sqrt{112}\): \[ \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}. \] Do đó: \[ m = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{48}. \] Rút gọn: \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{12}. \] Vậy \(m\) có hai giá trị để phương trình có một nghiệm là: \[ m = \frac{1 + \sqrt{7}}{12} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{1 - \sqrt{7}}{12}. \]