Cho tam giác ABC có góc A = 60 o Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E. Chứng minh IA = IE.

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh $ IA = IE $ trong tam giác $ \triangle ABC $ với góc $ A = 60^\circ $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác $ \triangle ABE $:

- Vì $ E $ là điểm nằm trên cạnh $ AB $ và $ IE $ là tia phân giác của góc $ \angle ABE $, nên theo tính chất của đường phân giác, ta có:
     $$
     \frac{AE}{EB} = \frac{AI}{IB}
     $$

2. Xét tam giác $ \triangle ACD $:

- Tương tự, $ D $ là điểm nằm trên cạnh $ AC $ và $ ID $ là tia phân giác của góc $ \angle ACD $, nên theo tính chất của đường phân giác, ta có:
     $$
     \frac{AD}{DC} = \frac{AI}{IC}
     $$

3. Xét tam giác $ \triangle AIE $:

- Ta có $ \angle AIE = \angle AIB + \angle BIE $.
   - Vì $ I $ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác $ \triangle ABC $, nên $ \angle BIE = \angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle BAC}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ $.

4. Xét tam giác $ \triangle AID $:

- Tương tự, ta có $ \angle AID = \angle AIC + \angle CID $.
   - Vì $ I $ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác $ \triangle ABC $, nên $ \angle CID = \angle BIC = 120^\circ $.

5. Chứng minh $ IA = IE $:

- Trong tam giác $ \triangle AIE $ và $ \triangle AID $, ta có:
     - $ \angle AIE = \angle AID = 120^\circ $.
     - $ AI $ là cạnh chung.
   - Do đó, tam giác $ \triangle AIE $ và $ \triangle AID $ có hai góc bằng nhau và cạnh chung, nên chúng là hai tam giác cân tại $ I $.

6. Kết luận:

- Từ tính chất của tam giác cân, ta có $ IA = IE $.

Như vậy, ta đã chứng minh được $ IA = IE $ trong tam giác $ \triangle ABC $ với góc $ A = 60^\circ $.