Giúp mình với!

Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ giải quyết từng bước theo đúng yêu cầu đã nêu trong hướng dẫn. Bước 1: Xác định ĐKXĐ Trong bài toán này, không có phân thức hay căn thức nên không cần thiết phải kiểm tra điều kiện xác định. Bước 2: Xác định các tập hợp - Tập hợp \( B \) là các số nguyên \( x \) sao cho \( x \) là bội của 3. - Các số nguyên dương đầu tiên thuộc d1 là 1, 2, 3, ..., 100. - Số nguyên âm đầu tiên thuộc p1 là -1, -2, -3, ..., -100. Do đó, \( B = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ là bội của } 3 \} \). - Tập hợp \( C \) là các số nguyên \( x \) sao cho \( x \) là bội của 6. - Các số nguyên dương đầu tiên thuộc p2 là 1, 2, 3, ..., 100. - Số nguyên âm đầu tiên thuộc p2 là -1, -2, -3, ..., -100. Do đó, \( C = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ là bội của } 6 \} \). Bước 3: Tìm giao của hai tập hợp \( B \) và \( C \) - Giao của hai tập hợp \( B \) và \( C \) là các số nguyên \( x \) sao cho \( x \) vừa là bội của 3 vừa là bội của 6. - Vì 6 là bội của 3, nên tất cả các số nguyên là bội của 6 cũng là bội của 3. Do đó, \( B \cap C = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ là bội của } 6 \} \). Bước 4: Kết luận Tập hợp \( B \cap C \) là các số nguyên \( x \) sao cho \( x \) là bội của 6. Do đó, \( B \cap C = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ là bội của } 6 \} \). Như vậy, đáp án cuối cùng là: \[ B \cap C = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ là bội của } 6 \} \] Câu 27: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các tập hợp $A \cup B$ và $A \cap B$, cũng như biểu diễn chúng trên trục số. Đồng thời, chúng ta cần kiểm tra điều kiện $C \setminus B = \emptyset$ với $C = \{x \in \mathbb{Z} | x$ là bội của 6 và x không là bội của 3\}. Bước 1: Xác định các tập hợp $A$ và $B$ - Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} | x \geq 1\}$ là tập hợp các số thực lớn hơn hoặc bằng 1. - Tập hợp $B = \{x \in \mathbb{R} | x \leq 3\}$ là tập hợp các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 3. Bước 2: Xác định $A \cup B$ và $A \cap B$ - $A \cup B$ (hợp của $A$ và $B$): Đây là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp $A$ hoặc $B$. Do đó, $A \cup B = \{x \in \mathbb{R} | x \geq 1 \text{ hoặc } x \leq 3\}$. Trên trục số, $A \cup B$ là đoạn từ $-\infty$ đến $+\infty$, vì mọi số thực đều thỏa mãn điều kiện này. - $A \cap B$ (giao của $A$ và $B$): Đây là tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B$. Do đó, $A \cap B = \{x \in \mathbb{R} | 1 \leq x \leq 3\}$. Trên trục số, $A \cap B$ là đoạn từ 1 đến 3, bao gồm cả hai đầu mút. Bước 3: Kiểm tra điều kiện $C \setminus B = \emptyset$ - Tập hợp $C = \{x \in \mathbb{Z} | x$ là bội của 6 và x không là bội của 3\}$. Tuy nhiên, mọi bội của 6 đều là bội của 3, do đó không tồn tại số nguyên nào thỏa mãn điều kiện này. Vì vậy, $C = \emptyset$. - Do đó, $C \setminus B = \emptyset \setminus B = \emptyset$. Kết luận - $A \cup B = \mathbb{R}$, biểu diễn trên trục số là toàn bộ trục số thực. - $A \cap B = [1, 3]$, biểu diễn trên trục số là đoạn từ 1 đến 3. - Điều kiện $C \setminus B = \emptyset$ là đúng. Câu 37: Phần a) Đốp lại cho mình hỏi thêm về phần mềm máy tính lượng tử, hãy giải thích chi tiết hơn về cách giải quyết bài toán này. Câu 38: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các tập hợp giao, hợp, hiệu của hai tập hợp \( A \) và \( B \). 1. Tìm \( A \cap B \) (giao của \( A \) và \( B \)): Giao của hai tập hợp là tập hợp các phần tử chung của cả hai tập hợp. Xét các phần tử của \( A \) và \( B \): - \( A = \{2, 4, 6, 9\} \) - \( B = \{1, 2, 3, 4\} \) Các phần tử chung của \( A \) và \( B \) là \( 2 \) và \( 4 \). Vậy, \( A \cap B = \{2, 4\} \). 2. Tìm \( A \cup B \) (hợp của \( A \) và \( B \)): Hợp của hai tập hợp là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. Kết hợp các phần tử của \( A \) và \( B \) mà không lặp lại: - \( A = \{2, 4, 6, 9\} \) - \( B = \{1, 2, 3, 4\} \) Kết hợp lại, ta có: \( \{1, 2, 3, 4, 6, 9\} \). Vậy, \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9\} \). 3. Tìm \( A \setminus B \) (hiệu của \( A \) trừ \( B \)): Hiệu của hai tập hợp là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp thứ nhất nhưng không thuộc tập hợp thứ hai. Xét các phần tử của \( A \) mà không thuộc \( B \): - \( A = \{2, 4, 6, 9\} \) - \( B = \{1, 2, 3, 4\} \) Các phần tử thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \) là \( 6 \) và \( 9 \). Vậy, \( A \setminus B = \{6, 9\} \). 4. Tìm \( B \setminus A \) (hiệu của \( B \) trừ \( A \)): Hiệu của hai tập hợp là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp thứ nhất nhưng không thuộc tập hợp thứ hai. Xét các phần tử của \( B \) mà không thuộc \( A \): - \( A = \{2, 4, 6, 9\} \) - \( B = \{1, 2, 3, 4\} \) Các phần tử thuộc \( B \) nhưng không thuộc \( A \) là \( 1 \) và \( 3 \). Vậy, \( B \setminus A = \{1, 3\} \). Kết luận: - \( A \cap B = \{2, 4\} \) - \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9\} \) - \( A \setminus B = \{6, 9\} \) - \( B \setminus A = \{1, 3\} \) Câu 39: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải các phương trình và bất phương trình để tìm các tập hợp A và B, sau đó thực hiện các phép toán trên tập hợp. Bước 1: Giải phương trình để tìm tập hợp A Phương trình cho tập hợp A là: \[ 2x^2 - 3x + 1 = 0 \] Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình \(\sqrt{x^2-2x+1}\) Câu 40: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các tập hợp \( A \) và \( B \) lần lượt là tập các ước số của 12 và 18, sau đó tìm các phép toán giữa hai tập hợp này. Bước 1: Tìm tập hợp \( A \) - Các ước số của 12: - Các ước số của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. - Vậy \( A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \). Bước 2: Tìm tập hợp \( B \) - Các ước số của 18: - Các ước số của 18 là: 1, 2, 3, 6, 9, 18. - Vậy \( B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \). Bước 3: Tìm \( A \cap B \) - Giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \): - Các phần tử chung của \( A \) và \( B \) là: 1, 2, 3, 6. - Vậy \( A \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \). Bước 4: Tìm \( A \cup B \) - Hợp của hai tập hợp \( A \) và \( B \): - Tất cả các phần tử của \( A \) và \( B \) là: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18. - Vậy \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\} \). Bước 5: Tìm \( A \setminus B \) - Phần bù của \( A \) trong \( B \): - Các phần tử của \( A \) mà không thuộc \( B \) là: 4, 12. - Vậy \( A \setminus B = \{4, 12\} \). Bước 6: Tìm \( B \setminus A \) - Phần bù của \( B \) trong \( A \): - Các phần tử của \( B \) mà không thuộc \( A \) là: 9, 18. - Vậy \( B \setminus A = \{9, 18\} \). Tóm lại, các tập hợp đã tìm được là: - \( A \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \) - \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\} \) - \( A \setminus B = \{4, 12\} \) - \( B \setminus A = \{9, 18\} \) Đáp số: - \( A \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \) - \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\} \) - \( A \setminus B = \{4, 12\} \) - \( B \setminus A = \{9, 18\} \) Câu 41: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây: 1. Giải phương trình bậc hai: - Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có nghiệm \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN): - Biểu thức \( f(x) = ax^2 + bx + c \) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại \( x = -\frac{b}{2a} \). 3. Phân tích tập hợp A và B: - Tập hợp \( A \) là tập hợp các nghiệm của phương trình \( (x+1)(x-2)(x^2-8x+15) = 0 \). - Tập hợp \( B \) là tập hợp các số nguyên tố có một chữ số. 4. Tìm giao của hai tập hợp A và B: - Giao của hai tập hợp \( A \cap B \) là tập hợp các phần tử chung của cả hai tập hợp. Bước 1: Giải phương trình bậc hai Phương trình \( (x+1)(x-2)(x^2-8x+15) = 0 \) có nghiệm khi ít nhất một trong ba nhân tử bằng 0: - \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) - \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) - \( x^2 - 8x + 15 = 0 \) Giải phương trình \( x^2 - 8x + 15 = 0 \): \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] \[ x = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy tập hợp \( A \) là: \[ A = \{-1, 2, 3, 5\} \] Bước 2: Xác định tập hợp B Tập hợp \( B \) là tập hợp các số nguyên tố có một chữ số: \[ B = \{2, 3, 5, 7\} \] Bước 3: Tìm giao của hai tập hợp A và B Giao của hai tập hợp \( A \cap B \) là tập hợp các phần tử chung của cả hai tập hợp: \[ A \cap B = \{2, 3, 5\} \] Đáp án cuối cùng Giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \) là: \[ A \cap B = \{2, 3, 5\} \] Câu 28: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tìm các phép toán tập hợp yêu cầu: giao, hợp, hiệu của các tập hợp đã cho. 1. Tìm \( A \cap B \): - Tập hợp \( A \cap B \) bao gồm các phần tử chung của cả hai tập hợp \( A \) và \( B \). - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) đối với các bài toán có chứa phân thức, căn thức. 2. Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTln, đạt được khi \(x=2\). 3. Khi đặt hay gọi ẩn số, đặc biệt với các bài toán giải bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. 4. Sử dụng "hoặc" khi kết luận các nghiệm của phương trình một ẩn. 5. Không sử dụng khái niệm đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số. 6. Đối với bài toán phần lượng giác, chỉ xét trên nửa đường tròn đơn vị (tức là chỉ xét trên góc phần tư I và II) và không bao gồm việc giải phương trình lượng giác mà thay vào đó là sử dụng các định lý lượng giác để giải. 7. Không dùng khái niệm arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x), etc. 8. Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như $\frac{a}{b}$, tuyệt đối không được sử dụng a/b. 9. Chỉ áp dụng kiến thức và phương pháp phù hợp với trình độ lớp 10. Phần cuối cùng của yêu cầu là viết đáp án trong hộp, chỉ chứa nội dung liên quan đến câu trả lời. Đáp án: - \( A \cap B = \{b; d\} \) - \( A \cup B = \{a; b; c; d; e\} \) - \( A \setminus B = \{a; c\} \) - \( B \setminus A = \{e\} \) Do đó, các phép toán tập hợp đã được chứng minh hoàn chỉnh. Câu 42: Câu hỏi: Giải phương trình sau: \[ \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}} = 2\sqrt{2} \] Lời giải: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình chứa căn thức và phân thức, do đó ta cần xác định ĐKXĐ: - Điều kiện cho căn thức \(\sqrt{x + 1}\): \[ x + 1 \geq 0 \] \[ x \geq -1 \] - Điều kiện cho phân thức \(\frac{1}{\sqrt{x - 1}}\): \[ x - 1 > 0 \quad \text{(vì mẫu số không thể bằng 0)} \] \[ x > 1 \] Kết hợp cả hai điều kiện, ta có: \[ x > 1 \] Bước 2: Giải phương trình Ta có phương trình: \[ \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}} = 2\sqrt{2} \] Đặt \( t = \sqrt{x + 1} \). Khi đó: \[ t^2 = x + 1 \Rightarrow x = t^2 - 1 \] Thay \( x = t^2 - 1 \) vào phương trình ban đầu: \[ t + \frac{1}{\sqrt{(t^2 - 1) - 1}} = 2\sqrt{2} \] \[ t + \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2}} = 2\sqrt{2} \] Bước 3: Tìm giá trị của \( t \) Nhận thấy rằng \( t \) phải thỏa mãn điều kiện \( t > \sqrt{2} \) (vì \( x > 1 \)). Thử \( t = \sqrt{2} \): \[ \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2}} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2 - 2}} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{2} + \frac{1}{0} = 2\sqrt{2} \] Không thỏa mãn vì mẫu số bằng 0. Thử \( t = 2 \): \[ 2 + \frac{1}{\sqrt{2^2 - 2}} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{1}{\sqrt{4 - 2}} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] \[ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Thỏa mãn. Bước 4: Tìm giá trị của \( x \) Với \( t = 2 \): \[ x = t^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \] Kết luận: Giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là: \[ x = 3 \] Câu 43: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần theo yêu cầu. Bước 1: Tìm tập hợp A Tập hợp \( A \) được định nghĩa là: \[ A = \{ x \in \mathbb{N} \mid (x^2 - 9)(x^2 - 5x - 6) = 0 \] Trước tiên, hãy giải phương trình \( x + 2 = 0 \). Ta có: \[ \begin{cases} x+1=0 \\ x=0 \end{cases} Ta có thể thấy rằng \( x \) là số thực dương, do đó \( z \) cũng phải là số thực. Tuy nhiên, vì \( y \) là biến ngẫu nhiên, nên \( x \) phải là số nguyên dương. Câu 29: Để chứng minh các phép toán tập hợp \( A \cap B \), \( A \cup B \), \( A \setminus B \), và \( B \setminus A \), chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phép toán này. 1. Phép giao \( A \cap B \): - Định nghĩa: \( x \in \mathbb{R} \) nếu và chỉ nếu \( x \) \) - Đặt \( y = \sqrt{x^2 + 1} \). - Nếu \( x > 0 \), \( \sqrt{2} \) \). Đáp số: \( x = 1 \) Lời giải chi tiết: Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \). Ta có \( \frac{x+1}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} \). Nhân chéo, ta được \( (x+1)(x-1) = (x+1)(x-1) \). Sau khi rút gọn, ta có \( x^2 - 1 = x^2 - 1 \). Do đó, \( x = 1 \) hoặc \( x = 2 \). Câu 44: Để tìm các tập hợp \( A \) và \( B \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng điều kiện: 1. Điều kiện \( A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \): - Điều này có nghĩa là các phần tử chung của \( A \) và \( B \) là \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \). 2. Điều kiện \( A \setminus B = \{-3, -2\} \): - Điều này có nghĩa là các phần tử thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \) là \( \{-3, -2\} \). 3. Điều kiện \( B \setminus A = \{6, 9, 10\} \): - Điều này có nghĩa là các phần tử thuộc \( B \) nhưng không thuộc \( A \) là \( \{6, 9, 10\} \). Bây giờ, chúng ta sẽ tổng hợp các phần tử từ các điều kiện trên để xác định \( A \) và \( B \): - Tập hợp \( A \) bao gồm các phần tử chung của \( A \) và \( B \) cộng với các phần tử chỉ thuộc \( A \): \[ A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) = \{0, 1, 2, 3, 4\} \cup \{-3, -2\} = \{-3, -2, 0, 1, 2, 3, 4\} \] - Tập hợp \( B \) bao gồm các phần tử chung của \( A \) và \( B \) cộng với các phần tử chỉ thuộc \( B \): \[ B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) = \{0, 1, 2, 3, 4\} \cup \{6, 9, 10\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10\} \] Vậy, các tập hợp \( A \) và \( B \) là: \[ A = \{-3, -2, 0, 1, 2, 3, 4\} \] \[ B = \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10\} \] Kiểm tra lại các điều kiện: - \( A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \) - \( A \setminus B = \{-3, -2\} \) - \( B \setminus A = \{6, 9, 10\} \) Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn. Câu 45: Phần a: Ta có: - Tập hợp A chứa các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, tức là {4, 5}. - Tập hợp B chứa các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A, tức là {6, 9}. - Tập hợp giao của A và B là {1, 2, 3}. Do đó, ta có thể suy ra rằng: - Nếu \( x = 0 \), ta có \( y = -1 \). Đáp số: \( x = 1 \) Lời giải chi tiết: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} \), ta sẽ sử dụng phương pháp đại số cơ bản và các công thức đã biết trong chương trình lớp 10. Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} \). Lời giải chi tiết: Đầu tiên, ta nhận thấy rằng mẫu số của biểu thức \( P \) là \( x^2 + 1 \), đây là một biểu thức luôn dương với mọi giá trị của \( x \). Các yêu cầu về phong cách viết toán học: Tránh viết các phép tính dài dòng, hãy viết chúng dưới dạng các đoạn văn ngắn gọn và dễ hiểu. Ví dụ: \( x^2 + 1 \) thay vì \( x^2+1 \). Câu 46: Để chứng minh các hệ thức liên quan đến các tập hợp \( A = \{a, b, c, d\} \), \( B = \{b, d, c\} \), và \( C = \{a, b, c\} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng tính chất hoặc mối quan hệ giữa các phép toán cơ bản trong chương trình lớp 10. Giải phương trình sau: a) Tìm môt để phương trình \( x^2 + 2(m( x - 1) = 0$ có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = 2x - x^2 \). Câu 30: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần của đề bài. Phần a) Điều kiện đã cho: - \( A \cap B = \{6, 8, 11\} \) - \( A \cup \{5, 6, 7\} = \{3, 5, 6, 7, 8, 10, 11\} \) Bước 1: Xác định tập hợp \( A \) Từ điều kiện \( A \cup \{5, 6, 7\} = \{3, 5, 6, 7, 8, 10, 11\} \), ta suy ra rằng \( A \) phải chứa các phần tử còn lại của tập hợp \( \{3, 5, 6, 7, 8, 10, 11\} \) trừ đi \( \{5, 6, 7\} \). Do đó: \[ A = \{3, 8, 10, 11\} \] Bước 2: Xác định tập hợp \( B \) Từ điều kiện \( A \cap B = \{6, 8, 11\} \), ta biết rằng \( B \) phải chứa các phần tử \( 6, 8, 11 \). Do đó: \[ B = \{6, 8, 11\} \] Kiểm tra điều kiện \( A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C) \) Ta thấy rằng \( C \) chưa được xác định, nhưng vì \( A \cap B = \{6, 8, 11\} \), nên \( C \) không ảnh hưởng đến kết quả của phép giao này. Phần b) Điều kiện đã cho: - \( A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \) Bước 1: Xác định tập hợp \( A \) Từ phần a), ta đã xác định \( A = \{3, 8, 10, 11\} \). Bước 2: Xác định tập hợp \( B \) Từ phần a), ta đã xác định \( B = \{6, 8, 11\} \). Bước 3: Xác định tập hợp \( C \) Do \( A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \), ta cần xác định \( C \) sao cho điều kiện này thỏa mãn. Giả sử \( C = \{3, 5, 7, 9\} \). Kiểm tra: - \( B \cap C = \emptyset \) - \( A \setminus (B \cap C) = A \setminus \emptyset = A = \{3, 8, 10, 11\} \) - \( A \setminus B = \{3, 10\} \) - \( A \setminus C = \{8, 10, 11\} \) - \( (A \setminus B) \cap (A \setminus C) = \{3, 10\} \cap \{8, 10, 11\} = \{10\} \) Do đó, \( C \) cần được chọn sao cho điều kiện \( A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \) thỏa mãn. Kết luận: \[ A = \{3, 8, 10, 11\} \] \[ B = \{6, 8, 11\} \] Câu 47: Để tìm tập hợp \( C \) thỏa mãn điều kiện \((4;5;6;7;8;9;10;11] = B \cup \{6;10\}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập hợp \( B \cup \{6;10\} \): - Điều này có nghĩa là \( x \neq 0 \) và \( y \) \). 2. Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTtnn): Trong câu trả lời cần chỉ rõ giá trị mà biểu thức, hàm số đạt GTLN, GTnn. Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 2 \). 3. Khi đặt hay gọi ẩn số, đặc biệt với các bài toán giải bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. 4. Sử dụng "hoặc" khi kết luận các nghiệm của phương trình một ẩn. 5. Không sử dụng khái niệm đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, giới hạn của dãy số, giới hạn của dãy số, giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số. 6. Đối với bài toán phần lượng giác, chỉ xét trên nửa đường tròn đơn vị (tức là chỉ xét trên góc phần tư I và II) và không bao gồm việc giải phương trình lượng giác mà thay vào đó là sử dụng các định lý lượng giác để giải. 7. Không dùng khái niệm arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x), etc. 8. Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như \(\frac{a}{b}\), tuyệt đối không được sử dụng a/b. 9. Chỉ áp dụng kiến thức và phương pháp phù hợp với trình độ lớp 10. Giả sử \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) và \( B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \). Tìm tập hợp \( C \) thỏa mãn: \[ (4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11] = B \cup \{6; 10\} \] a) \( C = A \cup B \) b) \( C = A \cap B \) Lời giải chi tiết: a) \( C = A \cup B \): - Tập hợp \( A \cup B \) bao gồm tất cả các phần tử thuộc \( A \) hoặc \( B \). - Vậy \( C = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11\} \). b) \( C = A \cap B \): - Tập hợp \( A \cap B \) bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả \( A \) và \( B \). - Vậy \( C = \{1, 3, 5\} \). Đáp số: a) \( C = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11\} \) b) \( C = \{1, 3, 5\} \) Câu 31: a) Ta sẽ lần lượt tìm các tập hợp yêu cầu: - Tập hợp \( A \setminus B \): \( A \setminus B \) là tập hợp các phần tử thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). \( A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \) \( B = \{(x,y)|x^2+2x+1\leq 0\} \) \( C = \{(x,y) | y = x^2 - 2x + 1}\) Do đó, \( A \) là số đo góc ở đáy của tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 1. Câu 48: a) Giả sử \( A \subset B \). Ta sẽ chứng minh \( A \cap B = A \). - Trước hết, ta thấy rằng \( A \cap B \subset A \) vì mọi phần tử thuộc \( A \cap B \) đều thuộc \( A \). - Ngược lại, do \( A \subset B \), mọi phần tử của A cũng là phần tử của B. Vậy nên \( x=1 \) là nghiệm của phương trình đã cho. Do đó, đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{x = -1} \] Câu 32: a) Ta có: + Tập A gồm các số nguyên dương chia hết cho 12: \( A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \) + Tập B gồm các số nguyên dương chia hết cho 18: \( B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \) Tập \( A \cap B \) gồm các số nguyên dương vừa chia hết cho 12 vừa chia hết cho 18: \( A \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \) Tập \( A \cup B \) gồm các số nguyên dương chia hết cho 12 hoặc chia hết cho 18: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\} \) c) Giả sử \( A \cup B = A \cap B \). Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong \( A \cup B \) cũng thuộc \( A \cap B \). Do đó, mọi phần tử trong A cũng thuộc B và ngược lại, mọi phần tử trong B cũng thuộc A. Vì vậy, \( A = B \). d) Giả sử \( A \subset C \) và \( B \subset C \). Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong A và B đều thuộc C. Do đó, mọi phần tử trong \( A \cup B \) cũng thuộc C. Vì vậy, \( A \cup B \subset C \). Tóm lại: - \( A \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \) - \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\} \) - Nếu \( A \cup B = A \cap B \) thì \( A = B \). - Nếu \( A \subset C \) và \( B \subset C \) thì \( A \cup B \subset C \). Câu 49: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tìm các tập hợp A, B và C theo yêu cầu. Tập hợp A: \[ A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - x - 6 = 0 \} \] Giải phương trình \( x^2 - x - 6 = 0 \): \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] Ta có: \[ x^2 = 1 - 2\cos\alpha \] Từ đây, dễ dàng suuy ra đpcm Câu 33: Để giải quyết các bài toán liên quan đến các phép toán trên tập hợp, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \): - Tập hợp \( A \) là \( \{1, 2, 3, 4\} \). - Tập hợp con của \( A \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0 \\ \cos \alpha + \sqrt{3}\sin \alpha = 0 \end{array} \right. Câu 55: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đại số sơ cấp (không dùng đạo hàm, tích phân, ...). Phần lời giải chi tiết và đáp án cuối cùng chỉ dành cho giáo viên hoặc người học hỏi bài khó khăn trong quá trình tự làm bài tập. Câu 34: a) Ta có: A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Do đó: $A\cap B=\{1;2;3;6\}$ $A = \frac{1}{2}(x + y) - \frac{1}{2}\sin(\theta)$ Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các yêu cầu đã cho: 1. Xác định các tập hợp: - Tập hợp \( A \) là tập hợp các số tự nhiên chẵn không bị giới hạn cụ thể nào trong đề bài, nhưng chúng ta sẽ làm việc với các số trong phạm vi từ 1 đến 10. - Tập hợp \( B \) là \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} \) - Tập hợp \( C \) là \( \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) 2. Tìm giao và hợp của các tập hợp: - Giao của \( B \) và \( C \) (\( B \cap C \)): \[ B \cap C = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \] - Hợp của \( B \) và \( C \) (\( B \cup C \)): \[ B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \] 3. Tìm giao của \( A \) với hợp của \( B \) và \( C \): - Tập hợp \( A \) là các số tự nhiên chẵn trong phạm vi từ 1 đến 10, tức là \( A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) - Giao của \( A \) và \( B \cup C \) (\( A \cap (B \cup C) \)): \[ A \cap (B \cup C) = \{2, 4, 6, 8, 10\} \] 4. Tìm hợp của các hiệu của các tập hợp: - Hiệu của \( A \) và \( B \) (\( A \setminus B \)): \[ A \setminus B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} = \emptyset \] - Hiệu của \( A \) và \( C \) (\( A \setminus C \)): \[ A \setminus C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \setminus \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} = \{2\} \] - Hiệu của \( B \) và \( C \) (\( B \setminus C \)): \[ B \setminus C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \setminus \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 3\} \] - Hợp của các hiệu (\( (A \setminus B) \cup (A \setminus C) \cup (B \setminus C) \)): \[ (A \setminus B) \cup (A \setminus C) \cup (B \setminus C) = \emptyset \cup \{2\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \] Vậy, các kết quả cuối cùng là: - \( B \cap C = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) - \( B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) - \( A \cap (B \cup C) = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) - \( (A \setminus B) \cup (A \setminus C) \cup (B \setminus C) = \{1, 2, 3\} \) Câu 51: a) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(\( 0 < a, b < 1000 \)). Tính tổng \( a + b \) của tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho. b) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( P = a + b \). c) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( Q = ab \). d) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( R = a^2 + b^2 \). e) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( S = a^2 - b^2 \). f) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( T = a^2 + b^2 \). g) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( U = a^2 - b^2 \). h) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( V = a^2 + b^2 \). i) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( W = a^2 - b^2 \). j) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( X = a^2 + b^2 \). k) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( Y = a^2 - b^2 \). l) Xét phương trình \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} = 1\) có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số nguyên dương thỏa mãn \( 0 < a \leq 10 \). Tính giá trị của biểu thức \( Z = a^2 + b^2 \). Câu 36: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước đã nêu ở trên. Dưới đây là lời giải chi tiết: Bài Toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 2x + 2} \). Giải: Bước 1: Tìm ĐKXĐ Biểu thức \( P = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 2x + 2} \) có mẫu số là \( x^2 - 2x + 2 \). Ta cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0. Ta có: \[ x^2 + 1 \geq 0 \] Do đó, \( x^2 - 2x + 2 \neq 0 \) luôn đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy, biểu thức \( P \) xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Bước 2: Biến đổi biểu thức Ta viết lại biểu thức \( P \): \[ P = \frac{x^2 + 1}{(x-1)^2 + 1} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất Ta thấy rằng \( (x-1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Do đó, \( (x-1)^2 + 1 \geq 1 \). Vì vậy, \( \frac{x^2 + 1}{(x-1)^2 + 1} \leq x^2 + 1 \). Đặt \( t = (x-1)^2 + 1 \), ta có \( t \geq 1 \). Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{x^2 + 1}{t} \] Vì \( t \geq 1 \), nên \( \frac{x^2 + 1}{t} \leq x^2 + 1 \). Giá trị lớn nhất của \( P \) xảy ra khi \( t \) nhỏ nhất, tức là \( t = 1 \). Khi \( t = 1 \), ta có: \[ (x-1)^2 + 1 = 1 \] \[ (x-1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{1^2 + 1}{1} = 2 \] Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là 2, đạt được khi \( x = 1 \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 2x + 2} \) là 2, đạt được khi \( x = 1 \). Câu 52: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính $C_gA$ (phần bù của $A$ trong $E$): Phần bù của tập hợp $A$ trong $E$, ký hiệu là $C_gA$, là tập hợp các phần tử thuộc $E$ nhưng không thuộc $A$. - Tập hợp $A = \{a, e, i, o\}$. - Tập hợp $E = \{a, b, c, d, i, e, o, f\}$. Các phần tử thuộc $E$ nhưng không thuộc $A$ là: $b, c, d, f$. Vậy, $C_gA = \{b, c, d, f\}$. 2. Xác định $A \cap B$: Đề bài cho $A \cap B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ lẻ và } x \text{ là bội của } 3\} = \{3(2k-1) \mid k \in \mathbb{Z}\}$. - Điều kiện $x$ là số lẻ và là bội của 3 có nghĩa là $x$ có dạng $3(2k-1)$, với $k \in \mathbb{Z}$. - Điều này có nghĩa là $x$ là một số lẻ và có thể được biểu diễn dưới dạng $3$ nhân với một số lẻ khác. Tập hợp này không liên quan trực tiếp đến $A$ và $E$, nhưng nó cho thấy cách biểu diễn các số lẻ là bội của 3. Tóm lại, chúng ta đã tính được phần bù của $A$ trong $E$ là $C_gA = \{b, c, d, f\}$ và hiểu được cách biểu diễn các số lẻ là bội của 3 trong $A \cap B$. Câu 53: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập hợp $E$: Tập hợp $E$ được định nghĩa là $E = \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 8\}$. Điều này có nghĩa là $E$ bao gồm tất cả các số tự nhiên $x$ sao cho $x \leq 8$. Do đó, $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. 2. Xác định tập hợp $A$ và $B$: - Tập hợp $A = \{1, 3, 5, 7\}$. - Tập hợp $B = \{1, 2, 3, 6\}$. 3. Thực hiện các phép toán tập hợp: a. Giao của $A$ và $B$ ($A \cap B$): Giao của hai tập hợp là tập hợp chứa các phần tử chung của cả hai tập hợp. Do đó, $A \cap B = \{1, 3\}$. b. Hợp của $A$ và $B$ ($A \cup B$): Hợp của hai tập hợp là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. Do đó, $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7\}$. c. Hiệu của $A$ và $B$ ($A \setminus B$): Hiệu của hai tập hợp là tập hợp chứa các phần tử thuộc tập hợp thứ nhất nhưng không thuộc tập hợp thứ hai. Do đó, $A \setminus B = \{5, 7\}$. d. Hiệu của $B$ và $A$ ($B \setminus A$): Tương tự, $B \setminus A = \{2, 6\}$. 4. Kết luận: - Giao của $A$ và $B$: $A \cap B = \{1, 3\}$. - Hợp của $A$ và $B$: $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7\}$. - Hiệu của $A$ và $B$: $A \setminus B = \{5, 7\}$. - Hiệu của $B$ và $A$: $B \setminus A = \{2, 6\}$.