Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1: a) Ta có: $(x-1)^4=81$ $(x-1)^4=(3)^4=(-3)^4$ $x-1=3$ hoặc $x-1=-3$ $x=3+1$ hoặc $x=-3+1$ $x=4$ hoặc $x=-2$ b) Ta có: $(2x-1)^6=(2x-1)^8$ $(2x-1)^6-(2x-1)^8=0$ $(2x-1)^6[1-(2x-1)^2]=0$ $(2x-1)^6[(1)-(2x-1)(2x-1)]=0$ $(2x-1)^6[1-(4x^2-4x+1)]=0$ $(2x-1)^6[-4x^2+4x]=0$ $(2x-1)^6(-4x)(x-1)=0$ $(2x-1)^6=0$ hoặc $-4x=0$ hoặc $x-1=0$ $2x-1=0$ hoặc $x=0$ hoặc $x=1$ $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=0$ hoặc $x=1$ c) Ta có: $5^x+5^{x+2}=650$ $5^x+5^x\times 5^2=650$ $5^x(1+5^2)=650$ $5^x\times 26=650$ $5^x=650:26$ $5^x=25$ $5^x=5^2$ $x=2$ Bài 2: Đầu tiên, chúng ta sẽ viết lại các hạng tử trong biểu thức \( C \): \[ C = \left( \frac{1}{2^2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3^2} - 1 \right) \left( \frac{1}{4^2} - 1 \right) \cdots \left( \frac{1}{100^2} - 1 \right) \] Ta có: \[ \frac{1}{n^2} - 1 = \frac{1 - n^2}{n^2} = \frac{(1 - n)(1 + n)}{n^2} = \frac{-(n-1)(n+1)}{n^2} \] Do đó, biểu thức \( C \) trở thành: \[ C = \left( \frac{-(2-1)(2+1)}{2^2} \right) \left( \frac{-(3-1)(3+1)}{3^2} \right) \left( \frac{-(4-1)(4+1)}{4^2} \right) \cdots \left( \frac{-(100-1)(100+1)}{100^2} \right) \] \[ C = \left( \frac{-(1)(3)}{2^2} \right) \left( \frac{-(2)(4)}{3^2} \right) \left( \frac{-(3)(5)}{4^2} \right) \cdots \left( \frac{-(99)(101)}{100^2} \right) \] Nhận thấy rằng mỗi hạng tử đều có dạng \(\frac{-(k-1)(k+1)}{k^2}\), ta có thể viết lại biểu thức \( C \) dưới dạng: \[ C = \left( \frac{-1 \cdot 3}{2^2} \right) \left( \frac{-2 \cdot 4}{3^2} \right) \left( \frac{-3 \cdot 5}{4^2} \right) \cdots \left( \frac{-99 \cdot 101}{100^2} \right) \] Khi nhân tất cả các hạng tử này lại với nhau, ta thấy rằng nhiều số hạng sẽ bị triệt tiêu lẫn nhau. Cụ thể, ta có: \[ C = \frac{-1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{-2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{-3 \cdot 5}{4^2} \cdots \frac{-99 \cdot 101}{100^2} \] Sau khi triệt tiêu các số hạng giống nhau, ta còn lại: \[ C = \frac{-1 \cdot 101}{2 \cdot 100} = \frac{-101}{200} \] So sánh \( C \) với \(\frac{-1}{2}\): \[ \frac{-101}{200} < \frac{-1}{2} \] Vậy \( C \) nhỏ hơn \(\frac{-1}{2}\). Đáp số: \( C < \frac{-1}{2} \) Bài 3: a) Ta có $(\frac27)^{15}:(\frac27)^{13}=(\frac27)^{15-13}=(\frac27)^2=\frac4{49}$ b) Ta có $(-0,125)^5.8^5=(-0,125.8)^5=(-1)^5=-1$ Bài 4: 1. Ta có \(7^{x+2}+7^x=21^6-379.7^{x-1}\) \(7^x(49+1)=21^6-379.7^{x-1}\) \(7^x.50=21^6-379.7^{x-1}\) \(7^x.50+379.7^{x-1}=21^6\) \(7^{x-1}.(350+379)=21^6\) \(7^{x-1}.729=21^6\) \(7^{x-1}.729=3^6.7^6\) \(7^{x-1}.9^3=3^6.7^6\) \(7^{x-1}.3^6=3^6.7^6\) \(7^{x-1}=7^6\) \(x-1=6\) \(x=7\) 2. Ta có \(2024^a+4049=|b-2024|+b\) Nếu \(b<2024\) thì \(|b-2024|=2024-b\). Khi đó \(2024^a+4049=2024-b+b\) \(2024^a+4049=2024\) \(2024^a=-2025\) (loại) Nếu \(b>2024\) thì \(|b-2024|=b-2024\). Khi đó \(2024^a+4049=b-2024+b\) \(2024^a+4049=2b-2024\) \(2024^a+6073=2b\) Do \(2024^a\) là số chẵn nên \(2024^a+6073\) là số lẻ. Mà \(2b\) là số chẵn nên không tồn tại \(a,b\) thỏa mãn. Nếu \(b=2024\) thì \(|b-2024|=0\). Khi đó \(2024^a+4049=0+2024\) \(2024^a=-2025\) (loại) Vậy không tồn tại \(a,b\) thỏa mãn. Bài 5: Để tìm các số hữu tỉ \(a\), \(b\), và \(c\) thỏa mãn các điều kiện \(ab = 2\), \(bc = 3\), và \(ca = 54\), chúng ta sẽ tiến hành như sau: 1. Nhân ba đẳng thức \(ab = 2\), \(bc = 3\), và \(ca = 54\) lại với nhau: \[ (ab)(bc)(ca) = 2 \cdot 3 \cdot 54 \] \[ a^2 b^2 c^2 = 324 \] 2. Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ abc = \sqrt{324} \] \[ abc = 18 \] 3. Từ \(abc = 18\), ta có thể tìm \(a\), \(b\), và \(c\) bằng cách chia \(abc\) cho các cặp số đã biết: \[ a = \frac{abc}{bc} = \frac{18}{3} = 6 \] \[ b = \frac{abc}{ca} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3} \] \[ c = \frac{abc}{ab} = \frac{18}{2} = 9 \] Vậy các số hữu tỉ \(a\), \(b\), và \(c\) thỏa mãn các điều kiện \(ab = 2\), \(bc = 3\), và \(ca = 54\) là: \[ a = 6, \quad b = \frac{1}{3}, \quad c = 9 \] Bài 6: Ta có: $\frac{4^5+4^5+4^5+4^5}{3^5+3^5+3^5}.\frac{6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5}{2^5+2^5}$ $=\frac{4^5\times 4}{3^5\times 3}\times \frac{6^5\times 6}{2^5\times 2}$ $=\frac{(4^5\times 4)\times (6^5\times 6)}{(3^5\times 3)\times (2^5\times 2)}$ $=\frac{(4^5\times 6^5)\times (4\times 6)}{(3^5\times 2^5)\times (3\times 2)}$ $=\frac{(4\times 6)^5\times (4\times 6)}{(3\times 2)^5\times (3\times 2)}$ $=\frac{(24)^5\times 24}{(6)^5\times 6}$ $=\frac{24^5\times 24}{6^5\times 6}$ $=\frac{24^5}{6^5}\times \frac{24}{6}$ $=(\frac{24}{6})^5\times \frac{24}{6}$ $=4^5\times 4$ $=4^6$ $=2^{12}$ Suy ra $n=12$. Bài 7: Ta có \( 2.2^2+3.2^3+4.2^4+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^3+3.2^3+4.2^4+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^3(1+3)+4.2^4+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^3.2^2+4.2^4+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^5+4.2^4+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^5(1+4)+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^5.2^3+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^8+5.2^5+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^8(1+5)+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^8.2^4+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) \( 2^{12}+...+(n-1).2^{n-1}+n.2^n=2^{n+10}. \) Tiếp tục như trên ta có \( 2^{n-1}(1+n)=2^{n+10}. \) \( 1+n=2^{11}. \) \( n=2047. \) Đáp số: \( n=2047. \) Bài 8: Ta có $2^a=8^{b+1}=2^{3(b+1)}$ nên $a=3(b+1)$ $(1)$ Cũng có $9^b=3^{a-9}=3^{2b}$ nên $a-9=2b$ $(2)$ Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được $3(b+1)-9=2b$ Hay $3b+3-9=2b$. Suy ra $3b-6=2b$. Do đó $b=6$ Thay $b=6$ vào $(1)$ ta được $a=3(6+1)=21$ Vậy $a+b=21+6=27$