Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC). Trên tia đối với tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối với tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.

a. Chứng minh: BC = DE

b. Chứng minh: tam giác ABD vuông cân và BD //CE

c. kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. Từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N. Chứng minh NM // AB

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a. Chứng minh: $ BC = DE $

1. Xét tam giác $ \triangle ABC $:
   - Tam giác $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, do đó $ BC $ là cạnh huyền.

2. Xét tam giác $ \triangle ADE $:
   - Theo giả thiết, $ AD = AB $ và $ AE = AC $.
   - Do đó, tam giác $ \triangle ADE $ có $ AD = AB $ và $ AE = AC $.

3. Chứng minh $ BC = DE $:
   - Trong tam giác $ \triangle ABC $, $ BC $ là cạnh huyền.
   - Trong tam giác $ \triangle ADE $, $ DE $ cũng là cạnh huyền.
   - Vì $ AD = AB $ và $ AE = AC $, theo định lý Pythagore (không được sử dụng trực tiếp nhưng có thể suy luận), ta có:
     $$
     BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{AD^2 + AE^2} = DE
     $$
   - Vậy $ BC = DE $.

b. Chứng minh: tam giác $ \triangle ABD $ vuông cân và $ BD \parallel CE $

1. Chứng minh tam giác $ \triangle ABD $ vuông cân:
   - Ta có $ AD = AB $ theo giả thiết.
   - Tam giác $ \triangle ABD $ có $ \angle BAD = 90^\circ $ (vì $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $ và $ D $ nằm trên tia đối của $ AC $).
   - Do đó, tam giác $ \triangle ABD $ vuông tại $ A $ và cân tại $ A $.

2. Chứng minh $ BD \parallel CE $:
   - Xét tam giác $ \triangle ABC $ và tam giác $ \triangle ADE $:
     - $ \angle BAC = \angle DAE $ (cùng là góc giữa hai cạnh bằng nhau).
     - $ \angle ABC = \angle ADE $ (vì $ \triangle ABC $ và $ \triangle ADE $ có các cạnh tương ứng bằng nhau).
   - Do đó, $ BD \parallel CE $ vì hai góc tương ứng bằng nhau.

c. Chứng minh $ NM \parallel AB $

1. Kẻ đường cao $ AH $ của tam giác $ \triangle ABC $:
   - $ AH $ vuông góc với $ BC $.

2. Tia $ AH $ cắt cạnh $ DE $ tại $ M $:
   - $ M $ là giao điểm của $ AH $ và $ DE $.

3. Từ $ A $ kẻ đường vuông góc với $ CM $ tại $ K $:
   - Đường thẳng này cắt $ BC $ tại $ N $.

4. Chứng minh $ NM \parallel AB $:
   - Vì $ AK $ vuông góc với $ CM $ và $ AH $ vuông góc với $ BC $, nên $ \angle ANM = \angle AHB $.
   - Do đó, $ NM \parallel AB $ vì hai góc tương ứng bằng nhau.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC). Trên tia đối với tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối với tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC. a. Chứng minh: BC = DE b. Chứng minh: tam giác ABD vuông...