Tìm giá trị của A

Điều kiện xác định: \( A \neq 0; -1; -2; -3 \) Ta có: \[ \frac{1}{A(A+1)} + \frac{1}{(A+1)(A+2)} + \frac{1}{(A+2)(A+3)} - \frac{1}{A} = \frac{1}{2010} \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{1}{A(A+1)} = \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} \] \[ \frac{1}{(A+1)(A+2)} = \frac{1}{A+1} - \frac{1}{A+2} \] \[ \frac{1}{(A+2)(A+3)} = \frac{1}{A+2} - \frac{1}{A+3} \] Thay vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} \right) + \left( \frac{1}{A+1} - \frac{1}{A+2} \right) + \left( \frac{1}{A+2} - \frac{1}{A+3} \right) - \frac{1}{A} = \frac{1}{2010} \] Rút gọn biểu thức: \[ \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} + \frac{1}{A+1} - \frac{1}{A+2} + \frac{1}{A+2} - \frac{1}{A+3} - \frac{1}{A} = \frac{1}{2010} \] Các số hạng \(\frac{1}{A}\), \(\frac{1}{A+1}\), \(\frac{1}{A+2}\) sẽ triệt tiêu lẫn nhau, còn lại: \[ -\frac{1}{A+3} = \frac{1}{2010} \] Do đó: \[ \frac{1}{A+3} = \frac{1}{2010} \] Suy ra: \[ A + 3 = 2010 \] \[ A = 2010 - 3 \] \[ A = 2007 \] Vậy giá trị của \( A \) là 2007.