giải giúp mình với

Câu 26: a) Rút gọn biểu thức A: Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \). Biểu thức A có dạng: \[ A = \left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{1-\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x}-1}{2} \] Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phân thức trong ngoặc đơn: \[ \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} = \frac{x+2}{(\sqrt{x})^3 - 1} = \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] Tiếp theo, ta sẽ rút gọn phân thức thứ hai: \[ \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \] Cuối cùng, ta sẽ rút gọn phân thức thứ ba: \[ \frac{1}{1-\sqrt{x}} = \frac{1}{-(\sqrt{x}-1)} = -\frac{1}{\sqrt{x}-1} \] Bây giờ, ta sẽ cộng các phân thức đã rút gọn: \[ \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} \] Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân thức này: \[ \frac{(x+2) + \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) - (x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] Rút gọn tử số: \[ (x+2) + (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - x - \sqrt{x} - 1 = x + 2 + x - \sqrt{x} - x - \sqrt{x} - 1 = 1 - 2\sqrt{x} \] Vậy biểu thức A trở thành: \[ A = \frac{1-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} : \frac{\sqrt{x}-1}{2} \] Ta sẽ nhân biểu thức A với nghịch đảo của phân thức \(\frac{\sqrt{x}-1}{2}\): \[ A = \frac{1-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1} \] Rút gọn: \[ A = \frac{2(1-2\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-1)^2(x+\sqrt{x}+1)} \] b) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất: Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần tìm giá trị của x sao cho biểu thức \(\frac{2(1-2\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-1)^2(x+\sqrt{x}+1)}\) đạt giá trị lớn nhất. Ta thấy rằng biểu thức này đạt giá trị lớn nhất khi \(1-2\sqrt{x}\) đạt giá trị lớn nhất, tức là khi \(1-2\sqrt{x} = 0\). Giải phương trình: \[ 1-2\sqrt{x} = 0 \] \[ 2\sqrt{x} = 1 \] \[ \sqrt{x} = \frac{1}{2} \] \[ x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ x = \frac{1}{4} \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là: \[ A = \frac{2(1-2\sqrt{\frac{1}{4}})}{(\sqrt{\frac{1}{4}}-1)^2(\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}}+1)} \] \[ A = \frac{2(1-2\cdot\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2}-1)^2(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1)} \] \[ A = \frac{2(1-1)}{(-\frac{1}{2})^2(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1)} \] \[ A = \frac{2\cdot0}{\frac{1}{4}(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1)} \] \[ A = 0 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 0, đạt được khi \( x = \frac{1}{4} \). Câu 27: a) Rút gọn biểu thức \( P \): Điều kiện xác định: \[ x > 0 \] Biểu thức \( P \): \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3}{x\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - \sqrt{x} + 1} \] Ta sẽ biến đổi từng phân số: 1. Biến đổi phân số thứ nhất: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] 2. Biến đổi phân số thứ hai: \[ \frac{3}{x\sqrt{x} + 1} \] Ta nhận thấy rằng \( x\sqrt{x} = x^{3/2} \), nên: \[ \frac{3}{x^{3/2} + 1} \] 3. Biến đổi phân số thứ ba: \[ \frac{2}{x - \sqrt{x} + 1} \] Bây giờ ta sẽ cộng các phân số lại: \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3}{x^{3/2} + 1} + \frac{2}{x - \sqrt{x} + 1} \] Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân số này. Mẫu số chung là \( (\sqrt{x} + 1)(x^{3/2} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta sẽ nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với các biểu thức liên hợp tương ứng: 1. Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với \( \sqrt{x} - 1 \): \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \] 2. Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với \( x^{3/2} - 1 \): \[ \frac{3}{x^{3/2} + 1} \cdot \frac{x^{3/2} - 1}{x^{3/2} - 1} = \frac{3(x^{3/2} - 1)}{x^3 - 1} \] 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ ba với \( x + \sqrt{x} + 1 \): \[ \frac{2}{x - \sqrt{x} + 1} \cdot \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{2(x + \sqrt{x} + 1)}{x^2 + x + 1} \] Bây giờ ta sẽ cộng các phân số đã biến đổi: \[ P = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} - \frac{3(x^{3/2} - 1)}{x^3 - 1} + \frac{2(x + \sqrt{x} + 1)}{x^2 + x + 1} \] Sau khi quy đồng và rút gọn, ta thu được: \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Ta đã rút gọn \( P \) thành: \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( \sqrt{x} + 1 \). Vì \( \sqrt{x} \geq 0 \), nên \( \sqrt{x} + 1 \geq 1 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) xảy ra khi \( \sqrt{x} + 1 \) đạt giá trị lớn nhất, tức là khi \( \sqrt{x} \) đạt giá trị lớn nhất. Khi \( x = 0 \): \[ \sqrt{x} = 0 \] \[ \sqrt{x} + 1 = 1 \] \[ P = \frac{1}{1} = 1 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1, đạt được khi \( x = 0 \). Đáp số: a) \( P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \) b) Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1, đạt được khi \( x = 0 \). Câu 28: a) Rút gọn biểu thức P: Điều kiện xác định: \( a > 0 \) Ta có: \[ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - \frac{2a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 1 \] Nhận thấy rằng \( a^2 + \sqrt{a} = (\sqrt{a})^4 + \sqrt{a} \) và \( a - \sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} + 1 \). Ta sẽ biến đổi tử số và mẫu số của phân thức đầu tiên: \[ \frac{(\sqrt{a})^4 + \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a})^3 + 1}{\sqrt{a} - 1 + 1} = \frac{(\sqrt{a})^3 + 1}{\sqrt{a}} \] Tiếp theo, ta sẽ biến đổi phân thức thứ hai: \[ \frac{2a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + 1 \] Bây giờ, ta sẽ kết hợp tất cả lại: \[ P = \frac{(\sqrt{a})^3 + 1}{\sqrt{a}} - (2\sqrt{a} + 1) + 1 \] \[ P = \frac{(\sqrt{a})^3 + 1}{\sqrt{a}} - 2\sqrt{a} \] \[ P = \frac{(\sqrt{a})^3 + 1 - 2(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}} \] \[ P = \frac{(\sqrt{a})^3 - 2(\sqrt{a})^2 + 1}{\sqrt{a}} \] \[ P = \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a}} \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P: Ta có: \[ P = \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a}} \] Do \( (\sqrt{a} - 1)^2 \geq 0 \) và \( \sqrt{a} > 0 \), nên \( P \geq 0 \). Giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi \( \sqrt{a} - 1 = 0 \) hay \( a = 1 \). Đáp số: a) \( P = \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a}} \) b) Giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi \( a = 1 \). Câu 29: a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định: \( x > 0 \) \( x \neq 1 \) Biểu thức P có dạng: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) : \left( \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x \sqrt{x} + x} \right) \] Ta sẽ rút gọn từng phần riêng lẻ trước. Phần tử số của P: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \] \[ = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{x + \sqrt{x} + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Phần mẫu số của P: \[ \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x \sqrt{x} + x} \] \[ = \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x (\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{2 (\sqrt{x} + 1) - (2 - x)}{x (\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{2 \sqrt{x} + 2 - 2 + x}{x (\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{2 \sqrt{x} + x}{x (\sqrt{x} + 1)} \] Bây giờ ta có thể viết lại P: \[ P = \frac{\frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}}{\frac{2 \sqrt{x} + x}{x (\sqrt{x} + 1)}} \] \[ = \frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{x (\sqrt{x} + 1)}{2 \sqrt{x} + x} \] \[ = \frac{(x + 2\sqrt{x}) x (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(2 \sqrt{x} + x)} \] \[ = \frac{x^2 + 2x \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(2 \sqrt{x} + x)} \] \[ = \frac{x (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(2 \sqrt{x} + x)} \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{P}\). Ta đã rút gọn P thành: \[ P = \frac{x (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(2 \sqrt{x} + x)} \] Do đó: \[ \sqrt{P} = \sqrt{\frac{x (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(2 \sqrt{x} + x)}} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{P}\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bên trong căn bậc hai. Xét biểu thức: \[ \frac{x (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(2 \sqrt{x} + x)} \] Khi \( x = 1 \): \[ \frac{1 (1 + 2)}{(1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)} \] \[ = \frac{3}{0} \] Biểu thức này không xác định. Khi \( x = 4 \): \[ \frac{4 (2 + 2)}{(2 - 1)(4 + 4)} \] \[ = \frac{16}{8} \] \[ = 2 \] Khi \( x = 9 \): \[ \frac{9 (3 + 2)}{(3 - 1)(6 + 9)} \] \[ = \frac{45}{30} \] \[ = 1.5 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{P}\) là 1.5, đạt được khi \( x = 9 \).