Đa giác có bao nhiêu đỉnh? Câu 3. Cho hình đa giác đều có 2n đỉnh $(n\geq2;n\in Z^+).$ Biết số đường chéo của hình đa giác bằng $\frac{23}6$ số lần,hình chữ nhật tạo từ 4 đỉnh trong 2n của hình đa giác đó. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh.

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải bài toán này, ta cần tìm số đỉnh của hình đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số đường chéo của hình đa giác bằng $\frac{23}{6}$ số lần hình chữ nhật tạo từ 4 đỉnh trong 2n đỉnh của hình đa giác đó.

Bước 1: Tính số đường chéo của hình đa giác đều có 2n đỉnh

Số đường chéo của một đa giác có $m$ đỉnh được tính bằng công thức:
$$
\frac{m(m-3)}{2}
$$
Với đa giác có $2n$ đỉnh, số đường chéo là:
$$
\frac{2n(2n-3)}{2} = n(2n-3)
$$

Bước 2: Tính số hình chữ nhật tạo từ 4 đỉnh của hình đa giác đều có 2n đỉnh

Một hình chữ nhật trong đa giác đều chỉ có thể được tạo thành khi các đỉnh đối xứng qua tâm. Do đó, số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đỉnh của đa giác đều có 2n đỉnh là:
$$
\frac{1}{2} \times \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}
$$
Lý do là vì mỗi cặp đỉnh đối diện nhau sẽ tạo thành một đường chéo của hình chữ nhật, và có $\binom{n}{2}$ cách chọn 2 cặp đỉnh đối diện.

Bước 3: Thiết lập phương trình

Theo đề bài, số đường chéo bằng $\frac{23}{6}$ số lần hình chữ nhật. Do đó, ta có phương trình:
$$
n(2n-3) = \frac{23}{6} \times \frac{n(n-1)}{2}
$$

Bước 4: Giải phương trình

Nhân cả hai vế với 12 để khử mẫu:
$$
12n(2n-3) = 23n(n-1)
$$

Rút gọn phương trình:
$$
24n^2 - 36n = 23n^2 - 23n
$$

Chuyển tất cả về một vế:
$$
24n^2 - 36n - 23n^2 + 23n = 0
$$

Rút gọn:
$$
n^2 - 13n = 0
$$

Phân tích thành nhân tử:
$$
n(n - 13) = 0
$$

Do $n \geq 2$, nên $n = 13$.

Kết luận:

Vậy đa giác đó có $2n = 2 \times 13 = 26$ đỉnh.