$xy+yz+zx=xyz$ Tìm GTLN của biểu thức: $M= \frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}$ Giải hộ mình câu này với các bạn

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( M = \frac{1}{4x+3y+z} + \frac{1}{x+4y+3z} + \frac{1}{3x+y+4z} \) với điều kiện \( xy + yz + zx = xyz \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Đầu tiên, chúng ta cần biến đổi điều kiện \( xy + yz + zx = xyz \) để dễ dàng sử dụng trong quá trình giải. Chia cả hai vế của phương trình này cho \( xyz \): \[ \frac{xy}{xyz} + \frac{yz}{xyz} + \frac{zx}{xyz} = \frac{xyz}{xyz} \] \[ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \] Bây giờ, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba cặp số \((4x, 3y, z)\), \((x, 4y, 3z)\), và \((3x, y, 4z)\): \[ \left( \frac{1}{4x+3y+z} + \frac{1}{x+4y+3z} + \frac{1}{3x+y+4z} \right) \left( (4x+3y+z) + (x+4y+3z) + (3x+y+4z) \right) \geq (1+1+1)^2 = 9 \] Tổng của các mẫu số: \[ (4x+3y+z) + (x+4y+3z) + (3x+y+4z) = 8x + 8y + 8z = 8(x+y+z) \] Do đó: \[ \left( \frac{1}{4x+3y+z} + \frac{1}{x+4y+3z} + \frac{1}{3x+y+4z} \right) \cdot 8(x+y+z) \geq 9 \] \[ \frac{1}{4x+3y+z} + \frac{1}{x+4y+3z} + \frac{1}{3x+y+4z} \geq \frac{9}{8(x+y+z)} \] Tiếp theo, chúng ta cần tìm giá trị của \( x+y+z \). Từ điều kiện \( \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \), chúng ta có thể giả sử \( x = y = z \) để đơn giản hóa việc tính toán. Khi đó: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 1 \] \[ \frac{3}{x} = 1 \] \[ x = 3 \] Do đó, \( x = y = z = 3 \). Thay vào biểu thức \( M \): \[ M = \frac{1}{4(3)+3(3)+3} + \frac{1}{3+4(3)+3(3)} + \frac{1}{3(3)+3+4(3)} \] \[ M = \frac{1}{12+9+3} + \frac{1}{3+12+9} + \frac{1}{9+3+12} \] \[ M = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{24} \] \[ M = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \] Vậy giá trị lớn nhất của \( M \) là \( \frac{1}{8} \), đạt được khi \( x = y = z = 3 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \( M \) là \( \frac{1}{8} \), đạt được khi \( x = y = z = 3 \).