Từ đầu dưới A của một máng nghiêng nhẵn một vật được phóng lên với vận tốc ban đầu nhất định, lên tới điểm B thì dừng lại. Gọi C là trung điểm của AB, vật đó đi từ A đến C mất hết thời gian là t. Như vậy thời gian để vật đó đi từ C lên đến B rồi trở về C là

Question

Timi · Accepted Answer

Xét vật chuyển động trên máng nghiêng nhẵn từ A đến B với điểm C là trung điểm của AB.

Gọi độ dài đoạn AB là $ s $, vậy độ dài đoạn AC = CB = $ \frac{s}{2} $.

Vật chuyển động từ A đến B là chuyển động thẳng giảm tốc đều (do ma sát nhẵn, chỉ có trọng lực và phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng), vận tốc ban đầu $ v_0 $, đến B thì dừng lại (vận tốc tại B = 0).

1. **Tính gia tốc $ a $ trên máng nghiêng:**

Chọn chiều dương từ A đến B.

Vận tốc giảm đều từ $ v_0 $ đến 0 trong quãng đường $ s $, nên theo công thức động học:

$$
v^2 = v_0^2 + 2as
$$

Tại B, $ v=0 $, vậy:

$$
0 = v_0^2 + 2 a s \Rightarrow a = - \frac{v_0^2}{2 s}
$$

(Gia tốc là âm, vật chậm dần đều)

2. **Tính thời gian từ A đến C:**

Quãng đường AC = $ \frac{s}{2} $, vận tốc ban đầu $ v_0 $, gia tốc $ a $.

Thời gian từ A đến C là $ t $.

Sử dụng công thức:

$$
s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
$$

Thay:

$$
\frac{s}{2} = v_0 t + \frac{1}{2} \left(- \frac{v_0^2}{2 s} \right) t^2 = v_0 t - \frac{v_0^2}{4 s} t^2
$$

3. **Tính thời gian từ C đến B:**

Từ C đến B, vật đi hết đoạn còn lại $ \frac{s}{2} $.

Vận tốc tại C:

$$
v_C^2 = v_0^2 + 2 a \frac{s}{2} = v_0^2 + a s = v_0^2 - \frac{v_0^2}{2 s} s = v_0^2 - \frac{v_0^2}{2} = \frac{v_0^2}{2}
$$

Vậy:

$$
v_C = \frac{v_0}{\sqrt{2}}
$$

Vật tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc $ a = -\frac{v_0^2}{2 s} $, từ vận tốc $ v_C $ đến 0 trong quãng đường $ \frac{s}{2} $.

Thời gian từ C đến B:

$$
t_{CB} = \frac{v_{\text{đầu}} - v_{\text{cuối}}}{|a|} = \frac{v_C - 0}{\frac{v_0^2}{2 s}} = \frac{\frac{v_0}{\sqrt{2}}}{\frac{v_0^2}{2 s}} = \frac{v_0}{\sqrt{2}} \times \frac{2 s}{v_0^2} = \frac{2 s}{v_0 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} s}{v_0}
$$

4. **Tính thời gian từ B trở về C:**

Vật đi từ B trở về C dưới tác dụng của gia tốc $ |a| $, bắt đầu từ vận tốc 0 đến vận tốc $ v_C $.

Thời gian đi từ B đến C:

$$
t_{BC} = \frac{v_C - 0}{|a|} = t_{CB}
$$

(do chuyển động đối xứng)

5. **Tổng thời gian từ C đến B rồi trở về C:**

$$
t_{CB} + t_{BC} = 2 t_{CB} = 2 \times \frac{\sqrt{2} s}{v_0} = \frac{2 \sqrt{2} s}{v_0}
$$

6. **Tính thời gian từ A đến C là $ t $:**

Từ phương trình:

$$
\frac{s}{2} = v_0 t - \frac{v_0^2}{4 s} t^2
$$

Nhân cả hai vế với 4s:

$$
2 s^2 = 4 s v_0 t - v_0^2 t^2
$$

Đặt $ x = t $, ta có:

$$
v_0^2 x^2 - 4 s v_0 x + 2 s^2 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai:

$$
x = \frac{4 s v_0 \pm \sqrt{(4 s v_0)^2 - 4 v_0^2 \times 2 s^2}}{2 v_0^2} = \frac{4 s v_0 \pm v_0 \sqrt{16 s^2 - 8 s^2}}{2 v_0^2} = \frac{4 s v_0 \pm v_0 \sqrt{8 s^2}}{2 v_0^2}
$$

$$
= \frac{4 s v_0 \pm v_0 (s \sqrt{8})}{2 v_0^2} = \frac{s (4 \pm \sqrt{8})}{2 v_0} = \frac{s (4 \pm 2 \sqrt{2})}{2 v_0} = \frac{s (2 \pm \sqrt{2})}{v_0}
$$

Chọn nghiệm nhỏ hơn phù hợp với thời gian đi từ A đến C:

$$
t = \frac{s (2 - \sqrt{2})}{v_0}
$$

7. **Tính $ t_{CB} + t_{BC} $ theo $ t $:**

Ta có:

$$
t_{CB} + t_{BC} = \frac{2 \sqrt{2} s}{v_0}
$$

Chia hai vế cho $ t $:

$$
\frac{t_{CB} + t_{BC}}{t} = \frac{2 \sqrt{2} s / v_0}{s (2 - \sqrt{2}) / v_0} = \frac{2 \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2 \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}
$$

$$
= \sqrt{2} (2 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} + 2 = 2 ( \sqrt{2} + 1)
$$

Vậy:

$$
t_{CB} + t_{BC} = 2 ( \sqrt{2} + 1) t
$$

**Đáp án:**

Thời gian để vật đi từ C lên đến B rồi trở về C là:

$$
\boxed{2 (\sqrt{2} + 1) \times t}
$$

Từ đầu dưới A của một máng nghiêng nhẵn một vật được phóng lên với vận tốc ban đầu nhất định, lên tới điểm B thì dừng lại. Gọi C là trung điểm của AB, vật đó đi từ A đến C mất hết thời gian là t. Như v...