giải cho tôi

Câu 14: Để xác định điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3(x+\sqrt{2}y-\sqrt{3})>8(\sqrt{3}x+2y-\sqrt{2})\), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi bất phương trình Bất phương trình đã cho là: \[ 3(x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}) > 8(\sqrt{3}x+2y-\sqrt{2}) \] Ta phân tích và rút gọn bất phương trình: \[ 3x + 3\sqrt{2}y - 3\sqrt{3} > 8\sqrt{3}x + 16y - 8\sqrt{2} \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 3x + 3\sqrt{2}y - 3\sqrt{3} - 8\sqrt{3}x - 16y + 8\sqrt{2} > 0 \] Rút gọn: \[ 3x - 8\sqrt{3}x + 3\sqrt{2}y - 16y + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} > 0 \] \[ (3 - 8\sqrt{3})x + (3\sqrt{2} - 16)y + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Bước 2: Kiểm tra từng điểm Điểm A(2; -2): Thay \(x = 2\) và \(y = -2\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3}) \cdot 2 + (3\sqrt{2} - 16) \cdot (-2) + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ 2(3 - 8\sqrt{3}) = 6 - 16\sqrt{3} \] \[ -2(3\sqrt{2} - 16) = -6\sqrt{2} + 32 \] Cộng lại: \[ 6 - 16\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 32 + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ 38 - 19\sqrt{3} + 2\sqrt{2} > 0 \] Vì \(38 - 19\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\) không rõ ràng là dương hay âm, ta cần kiểm tra thêm. Điểm B(2; 2): Thay \(x = 2\) và \(y = 2\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3}) \cdot 2 + (3\sqrt{2} - 16) \cdot 2 + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ 2(3 - 8\sqrt{3}) = 6 - 16\sqrt{3} \] \[ 2(3\sqrt{2} - 16) = 6\sqrt{2} - 32 \] Cộng lại: \[ 6 - 16\sqrt{3} + 6\sqrt{2} - 32 + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ -26 - 19\sqrt{3} + 14\sqrt{2} > 0 \] Vì \(-26 - 19\sqrt{3} + 14\sqrt{2}\) không rõ ràng là dương hay âm, ta cần kiểm tra thêm. Điểm C(-\sqrt{3}; -\sqrt{2}): Thay \(x = -\sqrt{3}\) và \(y = -\sqrt{2}\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (3\sqrt{2} - 16)(-\sqrt{2}) + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ -\sqrt{3}(3 - 8\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 8 \cdot 3 = 24 \] \[ -\sqrt{2}(3\sqrt{2} - 16) = -6 + 16\sqrt{2} \] Cộng lại: \[ 24 - 3\sqrt{3} - 6 + 16\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ 18 - 6\sqrt{3} + 24\sqrt{2} > 0 \] Vì \(18 - 6\sqrt{3} + 24\sqrt{2}\) có khả năng dương, ta cần kiểm tra thêm. Điểm E(\sqrt{2}; \sqrt{2}): Thay \(x = \sqrt{2}\) và \(y = \sqrt{2}\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3})\sqrt{2} + (3\sqrt{2} - 16)\sqrt{2} + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ \sqrt{2}(3 - 8\sqrt{3}) = 3\sqrt{2} - 8\sqrt{6} \] \[ \sqrt{2}(3\sqrt{2} - 16) = 6 - 16\sqrt{2} \] Cộng lại: \[ 3\sqrt{2} - 8\sqrt{6} + 6 - 16\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ 6 - 8\sqrt{6} - 3\sqrt{3} > 0 \] Vì \(6 - 8\sqrt{6} - 3\sqrt{3}\) không rõ ràng là dương hay âm, ta cần kiểm tra thêm. Điểm F(\sqrt{5}; 1): Thay \(x = \sqrt{5}\) và \(y = 1\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3})\sqrt{5} + (3\sqrt{2} - 16) \cdot 1 + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ \sqrt{5}(3 - 8\sqrt{3}) = 3\sqrt{5} - 8\sqrt{15} \] \[ 3\sqrt{2} - 16 = 3\sqrt{2} - 16 \] Cộng lại: \[ 3\sqrt{5} - 8\sqrt{15} + 3\sqrt{2} - 16 + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ 3\sqrt{5} - 8\sqrt{15} + 11\sqrt{2} - 16 - 3\sqrt{3} > 0 \] Vì \(3\sqrt{5} - 8\sqrt{15} + 11\sqrt{2} - 16 - 3\sqrt{3}\) không rõ ràng là dương hay âm, ta cần kiểm tra thêm. Điểm G(-\sqrt{2}; 2+\sqrt{3}): Thay \(x = -\sqrt{2}\) và \(y = 2+\sqrt{3}\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3})(-\sqrt{2}) + (3\sqrt{2} - 16)(2+\sqrt{3}) + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ -\sqrt{2}(3 - 8\sqrt{3}) = -3\sqrt{2} + 8\sqrt{6} \] \[ (3\sqrt{2} - 16)(2+\sqrt{3}) = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} - 32 - 16\sqrt{3} \] Cộng lại: \[ -3\sqrt{2} + 8\sqrt{6} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} - 32 - 16\sqrt{3} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ 11\sqrt{2} + 11\sqrt{6} - 32 - 19\sqrt{3} > 0 \] Vì \(11\sqrt{2} + 11\sqrt{6} - 32 - 19\sqrt{3}\) không rõ ràng là dương hay âm, ta cần kiểm tra thêm. Điểm H(1; 4): Thay \(x = 1\) và \(y = 4\) vào bất phương trình: \[ (3 - 8\sqrt{3}) \cdot 1 + (3\sqrt{2} - 16) \cdot 4 + (8\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) > 0 \] Tính toán: \[ 3 - 8\sqrt{3} \] \[ 4(3\sqrt{2} - 16) = 12\sqrt{2} - 64 \] Cộng lại: \[ 3 - 8\sqrt{3} + 12\sqrt{2} - 64 + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \] Rút gọn: \[ -61 - 11\sqrt{3} + 20\sqrt{2} > 0 \] Vì \(-61 - 11\sqrt{3} + 20\sqrt{2}\) không rõ ràng là dương hay âm, ta cần kiểm tra thêm. Kết luận: Sau khi kiểm tra từng điểm, ta thấy rằng không có điểm nào rõ ràng thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó, cần kiểm tra lại từng bước tính toán hoặc sử dụng phương pháp khác để xác định miền nghiệm chính xác hơn. Câu 15: Để tìm diện tích của tam giác được tạo thành bởi giao miền nghiệm của ba bất phương trình \( y \geq 0 \), \( 3x - 2y \geq -6 \), và \( 3x + 4y \leq 12 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình: - Bất phương trình \( y \geq 0 \) biểu diễn nửa mặt phẳng phía trên trục hoành (bao gồm cả trục hoành). - Bất phương trình \( 3x - 2y \geq -6 \) có đường biên là đường thẳng \( 3x - 2y = -6 \). Ta viết lại dưới dạng \( y = \frac{3}{2}x + 3 \). Đây là đường thẳng có hệ số góc dương, cắt trục tung tại điểm (0, 3). - Bất phương trình \( 3x + 4y \leq 12 \) có đường biên là đường thẳng \( 3x + 4y = 12 \). Ta viết lại dưới dạng \( y = -\frac{3}{4}x + 3 \). Đây là đường thẳng có hệ số góc âm, cắt trục tung tại điểm (0, 3). 2. Tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( y = \frac{3}{2}x + 3 \) và \( y = -\frac{3}{4}x + 3 \): \[ \frac{3}{2}x + 3 = -\frac{3}{4}x + 3 \] \[ \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x = 0 \] \[ \frac{9}{4}x = 0 \Rightarrow x = 0 \] Thay \( x = 0 \) vào \( y = \frac{3}{2}x + 3 \), ta được \( y = 3 \). Vậy giao điểm là \( (0, 3) \). - Giao điểm của \( y = \frac{3}{2}x + 3 \) và \( y = 0 \): \[ \frac{3}{2}x + 3 = 0 \] \[ \frac{3}{2}x = -3 \Rightarrow x = -2 \] Vậy giao điểm là \( (-2, 0) \). - Giao điểm của \( y = -\frac{3}{4}x + 3 \) và \( y = 0 \): \[ -\frac{3}{4}x + 3 = 0 \] \[ -\frac{3}{4}x = -3 \Rightarrow x = 4 \] Vậy giao điểm là \( (4, 0) \). 3. Xác định tam giác và tính diện tích: Tam giác được tạo bởi các điểm \( (-2, 0) \), \( (4, 0) \), và \( (0, 3) \). Diện tích tam giác được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Với \( (x_1, y_1) = (-2, 0) \), \( (x_2, y_2) = (4, 0) \), \( (x_3, y_3) = (0, 3) \): \[ S = \frac{1}{2} \left| -2(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| 6 + 12 \right| = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \] Vậy diện tích của tam giác là 9. Đáp án đúng là B. Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giao miền nghiệm của ba bất phương trình và xác định các đỉnh của tam giác được tạo thành. Sau đó, tính chu vi của tam giác này. Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình 1. Bất phương trình 1: \( x + 4y \geq 8 \) - Đường thẳng: \( x + 4y = 8 \) - Điểm cắt trục hoành (x): Cho \( y = 0 \), ta có \( x = 8 \). Điểm: \( (8, 0) \). - Điểm cắt trục tung (y): Cho \( x = 0 \), ta có \( 4y = 8 \Rightarrow y = 2 \). Điểm: \( (0, 2) \). 2. Bất phương trình 2: \( -x + 2y \leq 4 \) - Đường thẳng: \( -x + 2y = 4 \) - Điểm cắt trục hoành (x): Cho \( y = 0 \), ta có \( -x = 4 \Rightarrow x = -4 \). Điểm: \( (-4, 0) \). - Điểm cắt trục tung (y): Cho \( x = 0 \), ta có \( 2y = 4 \Rightarrow y = 2 \). Điểm: \( (0, 2) \). 3. Bất phương trình 3: \( x + y \leq 5 \) - Đường thẳng: \( x + y = 5 \) - Điểm cắt trục hoành (x): Cho \( y = 0 \), ta có \( x = 5 \). Điểm: \( (5, 0) \). - Điểm cắt trục tung (y): Cho \( x = 0 \), ta có \( y = 5 \). Điểm: \( (0, 5) \). Bước 2: Tìm giao điểm của các đường thẳng 1. Giao điểm của \( x + 4y = 8 \) và \( -x + 2y = 4 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 4y = 8 \\ -x + 2y = 4 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 6y = 12 \Rightarrow y = 2 \] Thay \( y = 2 \) vào phương trình thứ nhất: \[ x + 4(2) = 8 \Rightarrow x = 0 \] Giao điểm: \( (0, 2) \). 2. Giao điểm của \( x + 4y = 8 \) và \( x + y = 5 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 4y = 8 \\ x + y = 5 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ 3y = 3 \Rightarrow y = 1 \] Thay \( y = 1 \) vào phương trình thứ hai: \[ x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4 \] Giao điểm: \( (4, 1) \). 3. Giao điểm của \( -x + 2y = 4 \) và \( x + y = 5 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} -x + 2y = 4 \\ x + y = 5 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 3y = 9 \Rightarrow y = 3 \] Thay \( y = 3 \) vào phương trình thứ hai: \[ x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2 \] Giao điểm: \( (2, 3) \). Bước 3: Tính chu vi tam giác Các đỉnh của tam giác là \( (0, 2) \), \( (4, 1) \), và \( (2, 3) \). 1. Độ dài cạnh \( (0, 2) \) và \( (4, 1) \): \[ \sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \] 2. Độ dài cạnh \( (4, 1) \) và \( (2, 3) \): \[ \sqrt{(2 - 4)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 3. Độ dài cạnh \( (2, 3) \) và \( (0, 2) \): \[ \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Chu vi tam giác: \[ \sqrt{17} + 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \] Kết luận Chu vi của tam giác là \(\sqrt{17} + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}\), tương ứng với đáp án \(\textcircled{A}\).