Tìm min S. Câu 39: Biết rằng cos $2x+\cos2y=1,$ tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của $S=\cot^2x+\cot^2y.$

Question

Accepted Answer

Câu 39:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S = \cot^2 x + \cot^2 y $ biết rằng $ \cos 2x + \cos 2y = 1 $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi biểu thức $\cos 2x + \cos 2y = 1$:
   Ta sử dụng công thức $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$:
   $$
   \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \quad \text{và} \quad \cos 2y = 1 - 2\sin^2 y
   $$
   Thay vào phương trình đã cho:
   $$
   (1 - 2\sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 y) = 1
   $$
   $$
   2 - 2(\sin^2 x + \sin^2 y) = 1
   $$
   $$
   2(\sin^2 x + \sin^2 y) = 1
   $$
   $$
   \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2}
   $$

2. Biểu diễn $\cot^2 x$ và $\cot^2 y$ qua $\sin^2 x$ và $\sin^2 y$:
   Ta biết rằng $\cot^2 \theta = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}$. Do đó:
   $$
   \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \quad \text{và} \quad \cot^2 y = \frac{\cos^2 y}{\sin^2 y}
   $$
   Sử dụng $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$:
   $$
   \cot^2 x = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - 1
   $$
   $$
   \cot^2 y = \frac{1 - \sin^2 y}{\sin^2 y} = \frac{1}{\sin^2 y} - 1
   $$
   Do đó:
   $$
   S = \cot^2 x + \cot^2 y = \left( \frac{1}{\sin^2 x} - 1 \right) + \left( \frac{1}{\sin^2 y} - 1 \right)
   $$
   $$
   S = \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 y} - 2
   $$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $:
   Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 y} $. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
   $$
   \left( \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 y} \right) (\sin^2 x + \sin^2 y) \geq (1 + 1)^2 = 4
   $$
   Vì $\sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2}$:
   $$
   \left( \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 y} \right) \cdot \frac{1}{2} \geq 4
   $$
   $$
   \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 y} \geq 8
   $$
   Do đó:
   $$
   S = \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 y} - 2 \geq 8 - 2 = 6
   $$

4. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất:
   Đẳng thức xảy ra khi $\sin^2 x = \sin^2 y$. Từ $\sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2}$, ta có:
   $$
   2\sin^2 x = \frac{1}{2} \implies \sin^2 x = \frac{1}{4} \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}
   $$
   Tương tự, $\sin y = \pm \frac{1}{2}$.

Khi $\sin x = \frac{1}{2}$ và $\sin y = \frac{1}{2}$:
   $$
   \cot^2 x = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - 1 = 4 - 1 = 3
   $$
   $$
   \cot^2 y = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - 1 = 4 - 1 = 3
   $$
   $$
   S = 3 + 3 = 6
   $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ S $ là 6, đạt được khi $\sin x = \sin y = \frac{1}{2}$ hoặc $\sin x = \sin y = -\frac{1}{2}$.