giải giúp mình

Để giải bất phương trình \( x^2 - 3x + 1 > 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - 3x + 1 = 0 \): Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -3 \), và \( c = 1 \), ta có: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Do đó, nghiệm của phương trình \( x^2 - 3x + 1 = 0 \) là: \[ x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \] 2. Xét dấu của biểu thức \( x^2 - 3x + 1 \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \): - Khoảng \( (-\infty, x_1) \) - Khoảng \( (x_1, x_2) \) - Khoảng \( (x_2, +\infty) \) Ta chọn một giá trị trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của biểu thức \( x^2 - 3x + 1 \). - Khoảng \( (-\infty, x_1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 > 0 \] - Khoảng \( (x_1, x_2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \] - Khoảng \( (x_2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1 > 0 \] 3. Kết luận: Bất phương trình \( x^2 - 3x + 1 > 0 \) có nghiệm trên các khoảng: \[ x \in (-\infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty) \] 4. Kiểm tra tính đúng đắn của câu Q: Câu Q nói rằng bất phương trình \( x^2 - 3x + 1 \leq 0 \) vô nghiệm. Điều này không đúng vì ta đã thấy rằng \( x^2 - 3x + 1 \leq 0 \) có nghiệm trên khoảng \( [\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}] \). Do đó, câu P là đúng còn câu Q là sai. Ví dụ 12: Giả sử An nói đúng, suy ra Bình nói sai, suy ra Vinh nói đúng. Điều này vô lí vì chỉ có 2 em nói đúng, 1 em nói sai. Vậy An nói sai, suy ra Bình nói đúng, suy ra Vinh nói sai. Do đó, Bình làm đổ mực. Ví dụ 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề và sau đó xem xét mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$. Mệnh đề P: "$\Delta ABC$ là tam giác cân." Điều này có nghĩa là trong tam giác $ABC$, có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Giả sử $AB = AC$, khi đó tam giác $ABC$ cân tại $A$. Mệnh đề Q: "$\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến bằng nhau." Điều này có nghĩa là trong tam giác $ABC$, có hai đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh khác nhau có độ dài bằng nhau. Giả sử đường trung tuyến từ $A$ đến trung điểm của $BC$ là $m_a$ và từ $B$ đến trung điểm của $AC$ là $m_b$, thì $m_a = m_b$. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$: Mệnh đề này có nghĩa là "$\Delta ABC$ là tam giác cân nếu và chỉ nếu $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến bằng nhau." Xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$: 1. Chứng minh $P \Rightarrow Q$: Giả sử $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$, tức là $AB = AC$. Khi đó, hai đường trung tuyến $m_b$ và $m_c$ từ $B$ và $C$ đến các trung điểm của $AC$ và $AB$ sẽ bằng nhau. Điều này là do trong tam giác cân, các đường trung tuyến từ hai đỉnh đối diện với cạnh bằng nhau sẽ có độ dài bằng nhau. 2. Chứng minh $Q \Rightarrow P$: Giả sử $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến bằng nhau, chẳng hạn $m_a = m_b$. Theo tính chất của tam giác, nếu hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó phải là tam giác cân. Do đó, $\Delta ABC$ là tam giác cân. Từ hai phần chứng minh trên, ta thấy rằng mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là đúng. Kết luận: Mệnh đề "$\Delta ABC$ là tam giác cân nếu và chỉ nếu $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến bằng nhau" là đúng. Ví dụ 14: Ta có: - \( -\pi < -2 \) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với (-1) (chú ý rằng nhân với số âm sẽ đổi chiều bất đẳng thức): \[ \pi > 2 \] Bình phương cả hai vế của bất đẳng thức: \[ \pi^2 > 4 \] Do đó, mệnh đề \( -\pi < -2 \Leftrightarrow \pi^2 < 4 \) là sai. Ví dụ 15: a. Đúng. Vì \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)\). Nếu \(x \geq y\) thì \(x - y \geq 0\). Ta lại có \(x^2 + xy + y^2 > 0\) với mọi \(x, y\). Suy ra \(x^3 - y^3 \geq 0\). Ngược lại, nếu \(x^3 \geq y^3\) thì \(x^3 - y^3 \geq 0\). Ta lại có \(x^2 + xy + y^2 > 0\) với mọi \(x, y\). Suy ra \(x - y \geq 0\). b. Sai. Vì 6 chia hết cho 2 và 3 nhưng không chia hết cho 12. c. Đúng. Vì \(a^2 + b^2 = 0 \Leftrightarrow a^2 = -b^2\). Do \(a^2, b^2 \geq 0\) nên \(a^2 = b^2 = 0\). d. Đúng. Vì \(n^2\) chia hết cho 3 suy ra \(n\) chia hết cho 3. Thật vậy, giả sử \(n\) không chia hết cho 3 thì \(n = 3k + 1\) hoặc \(n = 3k + 2\). Khi đó \(n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1\) hoặc \(n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1\). Cả hai trường hợp đều mâu thuẫn với giả thiết \(n^2\) chia hết cho 3. Ví dụ 16: Mệnh đề đảo của P là: Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5. Mệnh đề này sai vì số tự nhiên n chia hết cho 5 có thể có chữ số tận cùng là 0. Mệnh đề đảo của Q là: Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật. Mệnh đề này sai vì tồn tại các tứ giác khác hình chữ nhật cũng có hai đường chéo bằng nhau. Ví dụ 17: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$, sau đó xét tính đúng sai của từng mệnh đề. a) - Mệnh đề $P$: "Tứ giác ABCD là hình thoi". - Mệnh đề $Q$: "Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường". Mệnh đề này đúng vì trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình thoi". Mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp, vì có thể là hình bình hành mà không phải là hình thoi. b) - Mệnh đề $P$: "2 > 9". - Mệnh đề $Q$: "4 < 3". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu 2 > 9 thì 4 < 3". Mệnh đề này đúng vì cả $P$ và $Q$ đều sai, và trong logic, một mệnh đề sai kéo theo bất kỳ mệnh đề nào cũng được coi là đúng. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu 4 < 3 thì 2 > 9". Mệnh đề này cũng đúng vì $Q$ sai, nên $Q \Rightarrow P$ đúng. c) - Mệnh đề $P$: "Tam giác ABC vuông cân tại A". - Mệnh đề $Q$: "Tam giác ABC có $A = 2B$". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tam giác ABC có $A = 2B$". Mệnh đề này sai vì trong tam giác vuông cân tại A, góc A là $90^\circ$ và góc B là $45^\circ$, không thỏa mãn $A = 2B$. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu tam giác ABC có $A = 2B$ thì tam giác ABC vuông cân tại A". Mệnh đề này cũng sai vì $A = 2B$ không đảm bảo tam giác vuông cân. d) - Mệnh đề $P$: "Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam". - Mệnh đề $Q$: "Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ". Mệnh đề này đúng vì cả $P$ và $Q$ đều đúng. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam". Mệnh đề này cũng đúng vì cả $P$ và $Q$ đều đúng. Tóm lại: - a) $P \Rightarrow Q$ đúng, $Q \Rightarrow P$ sai. - b) $P \Rightarrow Q$ đúng, $Q \Rightarrow P$ đúng. - c) $P \Rightarrow Q$ sai, $Q \Rightarrow P$ sai. - d) $P \Rightarrow Q$ đúng, $Q \Rightarrow P$ đúng. Ví dụ 18: Để phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ bằng hai cách, chúng ta cần hiểu rằng $P \Leftrightarrow Q$ có nghĩa là $P$ đúng khi và chỉ khi $Q$ đúng. Điều này tương đương với việc $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$. a) Mệnh đề $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình thoi" và $Q$: "Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau". Phát biểu hai cách: 1. Tứ giác $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. 2. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ là hình thoi. Xét tính đúng sai: - Nếu $P$ đúng (tứ giác $ABCD$ là hình thoi), thì $Q$ cũng đúng vì một trong các tính chất của hình thoi là hai đường chéo vuông góc với nhau. Do đó, $P \Rightarrow Q$ đúng. - Nếu $Q$ đúng (tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau), thì $P$ cũng đúng vì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. Do đó, $Q \Rightarrow P$ đúng. Vậy, mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là đúng. b) Mệnh đề $P$: "Bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$ có nghiệm" và $Q$: "$\sqrt{(-1)^2-3(-1)}>1$". Phát biểu hai cách: 1. Bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\sqrt{(-1)^2-3(-1)}>1$. 2. $\sqrt{(-1)^2-3(-1)}>1$ khi và chỉ khi bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$ có nghiệm. Xét tính đúng sai: - Xét $Q$: $\sqrt{(-1)^2-3(-1)} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 > 1$. Do đó, $Q$ đúng. - Xét $P$: Bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$ có điều kiện xác định là $x^2 - 3x \geq 0$. Giải bất phương trình $x^2 - 3x \geq 0$, ta có $x(x-3) \geq 0$. Nghiệm của bất phương trình này là $x \leq 0$ hoặc $x \geq 3$. Tiếp tục giải $\sqrt{x^2-3x}>1$, ta bình phương hai vế (lưu ý điều kiện xác định) được $x^2 - 3x > 1$. Giải bất phương trình này, ta có $x^2 - 3x - 1 > 0$. Nghiệm của bất phương trình này là $x < \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ hoặc $x > \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Kết hợp với điều kiện xác định $x \leq 0$ hoặc $x \geq 3$, ta có nghiệm của bất phương trình là $x \leq 0$ hoặc $x > \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Do đó, bất phương trình có nghiệm, nên $P$ đúng. Vậy, mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là đúng. Câu 1: Mệnh đề kéo theo \( P \Rightarrow Q \) chỉ sai trong trường hợp duy nhất là khi \( P \) đúng nhưng \( Q \) sai. Do đó, đáp án đúng là: D. \( P \) đúng và \( Q \) sai.