Chứng minh với mọi số thực m. b) Chứng minh rằng với mọi số thực m, phương trình,$x^6-65+m\sqrt[3]{2-x}=m(1-\sqrt{x-1})$,luôn có nghiệm.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng với mọi số thực $ m $, phương trình $ x^6 - 65 + m \sqrt[3]{2 - x} = m (1 - \sqrt{x - 1}) $ luôn có nghiệm, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Điều kiện để $ \sqrt{x - 1} $ có nghĩa là $ x - 1 \geq 0 $, tức là $ x \geq 1 $.
   - Điều kiện để $ \sqrt[3]{2 - x} $ có nghĩa là $ 2 - x $ có thể là bất kỳ số thực nào, vì căn bậc ba luôn có nghĩa.

Vậy, ĐKXĐ của phương trình là $ x \geq 1 $.

2. Biến đổi phương trình:
   Ta có phương trình:
   $$
   x^6 - 65 + m \sqrt[3]{2 - x} = m (1 - \sqrt{x - 1})
   $$
   Chuyển $ m \sqrt[3]{2 - x} $ sang vế phải:
   $$
   x^6 - 65 = m (1 - \sqrt{x - 1} - \sqrt[3]{2 - x})
   $$

3. Xét hàm số $ f(x) = x^6 - 65 $:
   - Hàm số $ f(x) = x^6 - 65 $ là một đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ miền xác định $ x \geq 1 $.

4. Xét hàm số $ g(x) = m (1 - \sqrt{x - 1} - \sqrt[3]{2 - x}) $:
   - Hàm số $ g(x) $ cũng liên tục trên miền $ x \geq 1 $ vì các hàm số $ \sqrt{x - 1} $ và $ \sqrt[3]{2 - x} $ đều liên tục trên miền này.

5. Sử dụng định lý giá trị trung gian:
   - Vì cả $ f(x) $ và $ g(x) $ đều liên tục trên miền $ x \geq 1 $, ta có thể sử dụng định lý giá trị trung gian để chứng minh phương trình $ f(x) = g(x) $ luôn có nghiệm.

6. Chọn hai điểm $ x_1 $ và $ x_2 $ trong miền $ x \geq 1 $:
   - Chọn $ x_1 = 1 $:
     $$
     f(1) = 1^6 - 65 = 1 - 65 = -64
     $$
     $$
     g(1) = m (1 - \sqrt{1 - 1} - \sqrt[3]{2 - 1}) = m (1 - 0 - 1) = 0
     $$
     Do đó, $ f(1) < g(1) $.

- Chọn $ x_2 = 2 $:
     $$
     f(2) = 2^6 - 65 = 64 - 65 = -1
     $$
     $$
     g(2) = m (1 - \sqrt{2 - 1} - \sqrt[3]{2 - 2}) = m (1 - 1 - 0) = 0
     $$
     Do đó, $ f(2) < g(2) $.

7. Kết luận:
   - Vì $ f(x) $ và $ g(x) $ liên tục trên miền $ x \geq 1 $ và tồn tại ít nhất một điểm $ x_1 $ và $ x_2 $ sao cho $ f(x_1) < g(x_1) $ và $ f(x_2) < g(x_2) $, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $ f(x) = g(x) $ luôn có nghiệm trong miền $ x \geq 1 $.

Do đó, với mọi số thực $ m $, phương trình $ x^6 - 65 + m \sqrt[3]{2 - x} = m (1 - \sqrt{x - 1}) $ luôn có nghiệm.