Tính xác suất.

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định số đỉnh của đa giác đều \((H)\) và sau đó tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác vuông không cân. Bước 1: Tìm số đỉnh của đa giác đều \((H)\) Đa giác đều có \(n\) đỉnh thì số đường chéo của nó được tính bằng công thức: \[ \frac{n(n-3)}{2} = 252 \] Giải phương trình này để tìm \(n\): \[ n(n-3) = 504 \] \[ n^2 - 3n - 504 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -504\). \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2016}}{2} \] \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{2025}}{2} \] \[ n = \frac{3 \pm 45}{2} \] Vì \(n\) phải là số nguyên dương, nên: \[ n = \frac{3 + 45}{2} = 24 \] Vậy đa giác đều \((H)\) có 24 đỉnh. Bước 2: Tính số tam giác có thể chọn Số cách chọn 3 đỉnh từ 24 đỉnh để tạo thành một tam giác là: \[ \binom{24}{3} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024 \] Bước 3: Tính số tam giác vuông không cân Để tam giác là tam giác vuông, một cạnh của nó phải là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. Đa giác đều 24 cạnh có 12 đường kính (vì mỗi đường kính đi qua 2 đỉnh đối diện nhau). Mỗi đường kính chia đa giác thành hai nửa, mỗi nửa có 10 đỉnh (không tính 2 đỉnh của đường kính). Do đó, số tam giác vuông có một cạnh là đường kính là: \[ 12 \times \binom{10}{1} = 12 \times 10 = 120 \] Tuy nhiên, trong số này có những tam giác vuông cân (hai cạnh góc vuông bằng nhau), và chúng ta cần loại bỏ chúng. Mỗi đường kính chỉ tạo ra 1 tam giác vuông cân (vì chỉ có một cách chọn hai đỉnh đối xứng qua đường kính). Vậy số tam giác vuông không cân là: \[ 120 - 12 = 108 \] Bước 4: Tính xác suất Xác suất để chọn được một tam giác vuông không cân là: \[ P = \frac{108}{2024} \] Rút gọn phân số: \[ P = \frac{27}{506} \] Vậy xác suất để tam giác được chọn là một tam giác vuông không cân là \(\frac{27}{506}\).