Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Ta sẽ tìm số dư của \( A = 2022^{2023} + 2023^{2024} \) khi chia cho 3, 5 và 7 lần lượt như sau: Bước 1: Tìm số dư của \( A \) khi chia cho 3 - Ta có \( 2022 \equiv 0 \pmod{3} \) vì \( 2022 \) chia hết cho 3. - Do đó \( 2022^{2023} \equiv 0^{2023} \equiv 0 \pmod{3} \). - Ta có \( 2023 \equiv 1 \pmod{3} \) vì \( 2023 \) chia 3 dư 1. - Do đó \( 2023^{2024} \equiv 1^{2024} \equiv 1 \pmod{3} \). - Vậy \( A \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3} \). Số dư của \( A \) khi chia cho 3 là 1. Bước 2: Tìm số dư của \( A \) khi chia cho 5 - Ta có \( 2022 \equiv 2 \pmod{5} \) vì \( 2022 \) chia 5 dư 2. - Do đó \( 2022^{2023} \equiv 2^{2023} \pmod{5} \). - Ta có \( 2023 \equiv 3 \pmod{5} \) vì \( 2023 \) chia 5 dư 3. - Do đó \( 2023^{2024} \equiv 3^{2024} \pmod{5} \). - Ta thấy rằng \( 2^4 \equiv 1 \pmod{5} \) và \( 3^4 \equiv 1 \pmod{5} \). - Do đó \( 2^{2023} \equiv 2^{(2023 \mod 4)} \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5} \). - Và \( 3^{2024} \equiv 3^{(2024 \mod 4)} \equiv 3^0 \equiv 1 \pmod{5} \). - Vậy \( A \equiv 3 + 1 \equiv 4 \pmod{5} \). Số dư của \( A \) khi chia cho 5 là 4. Bước 3: Tìm số dư của \( A \) khi chia cho 7 - Ta có \( 2022 \equiv 6 \pmod{7} \) vì \( 2022 \) chia 7 dư 6. - Do đó \( 2022^{2023} \equiv 6^{2023} \pmod{7} \). - Ta có \( 2023 \equiv 0 \pmod{7} \) vì \( 2023 \) chia hết cho 7. - Do đó \( 2023^{2024} \equiv 0^{2024} \equiv 0 \pmod{7} \). - Ta thấy rằng \( 6^6 \equiv 1 \pmod{7} \). - Do đó \( 6^{2023} \equiv 6^{(2023 \mod 6)} \equiv 6^5 \equiv 6 \pmod{7} \). - Vậy \( A \equiv 6 + 0 \equiv 6 \pmod{7} \). Số dư của \( A \) khi chia cho 7 là 6. Kết luận Số dư của \( A \) khi chia cho 3 là 1, khi chia cho 5 là 4 và khi chia cho 7 là 6. Bài 2: Để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số \(5a + 4\) và \(4a + 3\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm UCLN dựa trên các tính chất cơ bản của số nguyên. Bước 1: Tìm hiệu của hai số này. \[ (5a + 4) - (4a + 3) = 5a + 4 - 4a - 3 = a + 1 \] Bước 2: Ta thấy rằng nếu \(d\) là ước chung của \(5a + 4\) và \(4a + 3\), thì \(d\) cũng phải là ước của hiệu của chúng, tức là \(a + 1\). Bước 3: Tiếp theo, ta xét \(4a + 3\) và \(a + 1\): \[ 4a + 3 = 4(a + 1) - 1 \] Như vậy, nếu \(d\) là ước chung của \(4a + 3\) và \(a + 1\), thì \(d\) cũng phải là ước của \(-1\). Bước 4: Các ước của \(-1\) là \(1\) và \(-1\). Vì UCLN luôn là số dương, nên UCLN của \(5a + 4\) và \(4a + 3\) là \(1\). Do đó, ước chung lớn nhất của \(5a + 4\) và \(4a + 3\) là \(1\). Đáp số: \(1\) Bài 3: Ta có \( S = \frac{2(a^2 + b^2)}{ab} \). Ta sẽ chứng minh rằng \( S \) là một số chính phương. Đặt \( k = \frac{a^2 + b^2}{ab} \). Ta có \( S = 2k \). Do \( a \) và \( b \) là các số nguyên dương nên \( k \) cũng là một số nguyên dương. Ta có \( k = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \). Do \( a \) và \( b \) là các số nguyên dương nên \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{b}{a} \) cũng là các số nguyên dương. Ta có \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \) (theo bất đẳng thức Cauchy). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \( \frac{a}{b} = \frac{b}{a} \) hay \( a = b \). Vậy \( k \geq 2 \). Ta có \( S = 2k \geq 4 \). Do \( S \) là một số nguyên dương nên \( S \) phải là một số chính phương. Vậy \( S \) là một số chính phương.