Giải câu 1,2,3,5,6 trình bày tự luận ngắn gọn, không dùng lim

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường tiệm cận và hai trục tọa độ bằng 8. Bước 1: Xác định các đường tiệm cận Hàm số đã cho là \( y = \frac{mx - 1}{x - 4} \). - Tiệm cận đứng: Để tìm tiệm cận đứng, ta xét mẫu số của phân thức. Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \] - Tiệm cận ngang: Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Vì tử số và mẫu số đều là bậc nhất, tiệm cận ngang là: \[ y = \frac{m}{1} = m \] Bước 2: Xác định các điểm giao với trục tọa độ - Giao với trục hoành (Ox): Để tìm giao điểm với trục hoành, ta cho \( y = 0 \): \[ \frac{mx - 1}{x - 4} = 0 \implies mx - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{m} \] - Giao với trục tung (Oy): Để tìm giao điểm với trục tung, ta cho \( x = 0 \): \[ y = \frac{m \cdot 0 - 1}{0 - 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \] Bước 3: Tính diện tích hình chữ nhật Hình chữ nhật được tạo bởi các đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các cạnh là: - Chiều dài: Khoảng cách từ tiệm cận đứng \( x = 4 \) đến trục tung \( x = 0 \), tức là 4. - Chiều rộng: Khoảng cách từ tiệm cận ngang \( y = m \) đến trục hoành \( y = 0 \), tức là \( |m| \). Diện tích của hình chữ nhật là: \[ 4 \times |m| = 8 \] Bước 4: Giải phương trình diện tích Từ phương trình diện tích, ta có: \[ 4 \times |m| = 8 \implies |m| = 2 \] Do đó, \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \). Kết luận Các giá trị của tham số \( m \) để diện tích hình chữ nhật bằng 8 là \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \). Câu 2: Để tính diện tích tam giác tạo bởi hai đường tiệm cận của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 2} \) và trục hoành, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các đường tiệm cận 1. Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Xét mẫu số \( x + 2 = 0 \), ta có \( x = -2 \). 2. Tiệm cận ngang: Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x+2} = \frac{x^2(1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2})}{x(1 + \frac{2}{x})} = x \cdot \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to \pm \infty \), ta có: \[ y \approx x \] Do đó, không có tiệm cận ngang, nhưng có tiệm cận xiên là \( y = x \). Bước 2: Xác định giao điểm của các đường tiệm cận với trục hoành 1. Giao điểm của tiệm cận đứng \( x = -2 \) với trục hoành: Không có giao điểm vì đường thẳng \( x = -2 \) là đường thẳng đứng. 2. Giao điểm của tiệm cận xiên \( y = x \) với trục hoành: Để tìm giao điểm với trục hoành, đặt \( y = 0 \): \[ x = 0 \] Vậy giao điểm là \( (0, 0) \). Bước 3: Tính diện tích tam giác Tam giác được tạo bởi các điểm: \( (-2, 0) \), \( (0, 0) \), và giao điểm của hai đường tiệm cận. Tuy nhiên, do tiệm cận đứng không cắt trục hoành, ta chỉ xét tam giác với các điểm \( (-2, 0) \), \( (0, 0) \), và điểm trên tiệm cận xiên khi \( x = -2 \). Tìm điểm trên tiệm cận xiên khi \( x = -2 \): \[ y = x \Rightarrow y = -2 \quad \text{khi} \quad x = -2 \] Vậy điểm là \( (-2, -2) \). Diện tích tam giác: Tam giác có các đỉnh \( (-2, 0) \), \( (0, 0) \), và \( (-2, -2) \). Diện tích tam giác được tính bằng công thức: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \] Đáy là đoạn từ \( (-2, 0) \) đến \( (0, 0) \), có độ dài 2. Chiều cao là đoạn từ \( (-2, 0) \) đến \( (-2, -2) \), có độ dài 2. Vậy diện tích tam giác là: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \] Kết luận: Diện tích tam giác tạo bởi hai đường tiệm cận và trục hoành là 2. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 8x + 12}{x + 4} \). Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: Chia \( x^2 + 8x + 12 \) cho \( x + 4 \): 1. Lấy \( x^2 \) chia cho \( x \) được \( x \). 2. Nhân \( x \) với \( x + 4 \) được \( x^2 + 4x \). 3. Lấy \( x^2 + 8x + 12 \) trừ đi \( x^2 + 4x \) được \( 4x + 12 \). 4. Lấy \( 4x \) chia cho \( x \) được \( 4 \). 5. Nhân \( 4 \) với \( x + 4 \) được \( 4x + 16 \). 6. Lấy \( 4x + 12 \) trừ đi \( 4x + 16 \) được \( -4 \). Vậy, phép chia cho kết quả: \( y = x + 4 + \frac{-4}{x+4} \). Tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 4 \). Bước 2: Tìm tâm đối xứng \( I(a; b) \) của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{12 - 6x}{x - 10} \). Hàm số \( f(x) = \frac{12 - 6x}{x - 10} \) có dạng \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số này là \( I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right) \). Ở đây, \( a = -6 \), \( b = 12 \), \( c = 1 \), \( d = -10 \). Vậy, tọa độ tâm đối xứng là: \[ I\left(-\frac{-10}{1}; \frac{-6}{1}\right) = I(10; -6). \] Bước 3: Tính khoảng cách từ \( I(10; -6) \) đến tiệm cận xiên \( y = x + 4 \). Khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. \] Đường thẳng \( y = x + 4 \) có phương trình dạng \( x - y + 4 = 0 \). Với \( A = 1 \), \( B = -1 \), \( C = 4 \), và điểm \( (10, -6) \), ta có: \[ d = \frac{|1 \cdot 10 + (-1) \cdot (-6) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|10 + 6 + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}. \] Vậy, khoảng cách từ \( I \) đến tiệm cận xiên là \( 10\sqrt{2} \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 - 4x - 3}{x + 1} \). Bước 1: Tìm tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Do đó, ta giải phương trình: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1. \] Vậy tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Bước 2: Tìm tiệm cận xiên Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, nên hàm số có tiệm cận xiên. Ta thực hiện phép chia đa thức: Chia \(-x^2 - 4x - 3\) cho \(x + 1\): 1. Lấy \(-x^2\) chia cho \(x\), được \(-x\). 2. Nhân \(-x\) với \(x + 1\), được \(-x^2 - x\). 3. Trừ \(-x^2 - x\) từ \(-x^2 - 4x\), được \(-3x\). 4. Lấy \(-3x\) chia cho \(x\), được \(-3\). 5. Nhân \(-3\) với \(x + 1\), được \(-3x - 3\). 6. Trừ \(-3x - 3\) từ \(-3x - 3\), được 0. Kết quả phép chia là \(-x - 3\), vậy tiệm cận xiên là \(y = -x - 3\). Bước 3: Xác định các điểm A, B, C - Điểm A là giao điểm của tiệm cận đứng \(x = -1\) với trục Ox (y = 0). Do đó, \(A(-1, 0)\). - Điểm B là giao điểm của tiệm cận xiên \(y = -x - 3\) với trục Oy (x = 0). Thay \(x = 0\) vào phương trình tiệm cận xiên, ta có: \[ y = -0 - 3 = -3. \] Vậy \(B(0, -3)\). - Điểm C là giao điểm của tiệm cận đứng \(x = -1\) với tiệm cận xiên \(y = -x - 3\). Thay \(x = -1\) vào phương trình tiệm cận xiên, ta có: \[ y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2. \] Vậy \(C(-1, -2)\). Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng công thức tính diện tích tam giác với tọa độ các đỉnh \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\): \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Thay tọa độ \(A(-1, 0)\), \(B(0, -3)\), \(C(-1, -2)\) vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| -1(-3 + 2) + 0(-2 - 0) + (-1)(0 + 3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1(-1) + 0 + (-1)(3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1 - 3 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Vậy diện tích tam giác ABC là 1. Câu 5: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm điều kiện để hàm số \( y = \frac{x^2 + (m-1)x + m^2 - 2m}{1-x} \) có tiệm cận xiên. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ 1 - x \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Bước 2: Tìm tiệm cận xiên Hàm số có dạng \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{1-x} \). Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ x^2 + (m-1)x + (m^2 - 2m) \div (1-x) \] Thực hiện phép chia: 1. Chia \( x^2 \) cho \( -x \), được \( -x \). 2. Nhân ngược lại và trừ, ta có: \[ x^2 + (m-1)x + (m^2 - 2m) - (-x)(1-x) = x^2 - x \] \[ (m-1)x + (m^2 - 2m) + x = mx + (m^2 - 2m) \] 3. Chia \( mx \) cho \( -x \), được \( -m \). 4. Nhân ngược lại và trừ, ta có: \[ mx + (m^2 - 2m) - (-m)(1-x) = mx + m \] \[ (m^2 - 2m) + m = m^2 - m \] Vậy tiệm cận xiên là: \[ y = -x - m \] Bước 3: Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và trục tọa độ Tiệm cận xiên \( y = -x - m \) cắt trục hoành (Ox) khi \( y = 0 \): \[ -x - m = 0 \Rightarrow x = -m \] Tiệm cận xiên cắt trục tung (Oy) khi \( x = 0 \): \[ y = -0 - m = -m \] Tọa độ giao điểm với Ox là \((-m, 0)\) và với Oy là \((0, -m)\). Diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và trục tọa độ là: \[ S = \frac{1}{2} \times |-m| \times |-m| = \frac{1}{2}m^2 \] Theo đề bài, diện tích tam giác bằng \(\frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{2}m^2 = \frac{1}{2} \] \[ m^2 = 1 \] \[ m = \pm 1 \] Bước 4: Kết luận Có 2 giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện là \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện để đồ thị hàm số \( y = \frac{mx^2 + (3m^2 - 2)x - 2}{x + 3m} \) có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên, đồng thời góc giữa hai đường tiệm cận này là \( 45^\circ \). Bước 1: Tìm điều kiện để có tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Do đó, ta cần giải phương trình: \[ x + 3m = 0 \Rightarrow x = -3m. \] Để có tiệm cận đứng tại \( x = -3m \), tử số tại \( x = -3m \) phải khác 0: \[ m(-3m)^2 + (3m^2 - 2)(-3m) - 2 \neq 0. \] Tính toán: \[ m(-3m)^2 = -9m^3, \quad (3m^2 - 2)(-3m) = -9m^3 + 6m. \] Do đó, tử số tại \( x = -3m \) là: \[ -9m^3 - 9m^3 + 6m - 2 = -18m^3 + 6m - 2. \] Điều kiện để có tiệm cận đứng là: \[ -18m^3 + 6m - 2 \neq 0. \] Bước 2: Tìm điều kiện để có tiệm cận xiên Tiệm cận xiên xuất hiện khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số. Ở đây, bậc của tử số là 2 và bậc của mẫu số là 1, do đó luôn có tiệm cận xiên. Bước 3: Tìm góc giữa hai tiệm cận Góc giữa hai tiệm cận là \( 45^\circ \) khi hệ số góc của tiệm cận xiên là 1 hoặc -1. Tiệm cận xiên có dạng: \[ y = ax + b, \] trong đó \( a \) là hệ số góc. Thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{mx^2 + (3m^2 - 2)x - 2}{x + 3m} = mx + (3m^2 - 2 - 3m^2) = mx - 2. \] Hệ số góc \( a = m \). Để góc giữa hai tiệm cận là \( 45^\circ \), ta cần: \[ |m| = 1. \] Bước 4: Kết hợp các điều kiện Từ điều kiện \( |m| = 1 \), ta có \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \). Kiểm tra điều kiện tử số khác 0: - Với \( m = 1 \): \[ -18(1)^3 + 6(1) - 2 = -18 + 6 - 2 = -14 \neq 0. \] - Với \( m = -1 \): \[ -18(-1)^3 + 6(-1) - 2 = 18 - 6 - 2 = 10 \neq 0. \] Cả hai giá trị \( m = 1 \) và \( m = -1 \) đều thỏa mãn điều kiện. Kết luận Có 2 giá trị nguyên của tham số \( m \) để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên, đồng thời góc giữa hai đường tiệm cận này là \( 45^\circ \).