giải giúp mình

Câu 11: Để tính giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của góc. a) Tính giá trị của biểu thức \( \cos^2 12^\circ + \cos^2 78^\circ + \cos^2 1^\circ + \cos^2 89^\circ \). 1. Sử dụng công thức cộng góc: - Ta có \( \cos(90^\circ - x) = \sin x \). 2. Áp dụng công thức cho các góc: - \( \cos 78^\circ = \sin 12^\circ \) và \( \cos 89^\circ = \sin 1^\circ \). 3. Thay vào biểu thức: \[ \cos^2 12^\circ + \cos^2 78^\circ + \cos^2 1^\circ + \cos^2 89^\circ = \cos^2 12^\circ + \sin^2 12^\circ + \cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ \] 4. Sử dụng công thức \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \): - \( \cos^2 12^\circ + \sin^2 12^\circ = 1 \) - \( \cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ = 1 \) 5. Kết luận: \[ \cos^2 12^\circ + \cos^2 78^\circ + \cos^2 1^\circ + \cos^2 89^\circ = 1 + 1 = 2 \] b) Tính giá trị của biểu thức \( \sin^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 87^\circ \). 1. Sử dụng công thức cộng góc: - Ta có \( \sin(90^\circ - x) = \cos x \). 2. Áp dụng công thức cho các góc: - \( \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \) và \( \sin 87^\circ = \cos 3^\circ \). 3. Thay vào biểu thức: \[ \sin^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 87^\circ = \sin^2 3^\circ + \cos^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ \] 4. Sử dụng công thức \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): - \( \sin^2 3^\circ + \cos^2 3^\circ = 1 \) - \( \sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = 1 \) 5. Kết luận: \[ \sin^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 87^\circ = 1 + 1 = 2 \] Vậy, giá trị của cả hai biểu thức đều là 2. Câu 12: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất và công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần: a) Tính giá trị của biểu thức \( A = \cos 0^\circ + \cos 10^\circ + \cos 20^\circ + \ldots + \cos 180^\circ \). Biểu thức này là tổng của các cosin của các góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) với bước nhảy \(10^\circ\). Chúng ta có thể nhóm các cặp góc đối xứng qua \(90^\circ\) như sau: - \(\cos 0^\circ + \cos 180^\circ = 1 + (-1) = 0\) - \(\cos 10^\circ + \cos 170^\circ = \cos 10^\circ + \cos (180^\circ - 10^\circ) = 0\) - \(\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = \cos 20^\circ + \cos (180^\circ - 20^\circ) = 0\) - \(\cos 30^\circ + \cos 150^\circ = \cos 30^\circ + \cos (180^\circ - 30^\circ) = 0\) - \(\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = \cos 40^\circ + \cos (180^\circ - 40^\circ) = 0\) - \(\cos 50^\circ + \cos 130^\circ = \cos 50^\circ + \cos (180^\circ - 50^\circ) = 0\) - \(\cos 60^\circ + \cos 120^\circ = \cos 60^\circ + \cos (180^\circ - 60^\circ) = 0\) - \(\cos 70^\circ + \cos 110^\circ = \cos 70^\circ + \cos (180^\circ - 70^\circ) = 0\) - \(\cos 80^\circ + \cos 100^\circ = \cos 80^\circ + \cos (180^\circ - 80^\circ) = 0\) - \(\cos 90^\circ = 0\) Tổng tất cả các cặp này đều bằng 0, do đó \( A = 0 \). b) Tính giá trị của biểu thức \( B = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \ldots + \sin^2 89^\circ \). Sử dụng công thức \(\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\), ta có: \[ B = \sum_{k=1}^{89} \sin^2 k^\circ = \sum_{k=1}^{89} \frac{1 - \cos 2k^\circ}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} (1 - \cos 2k^\circ) \] \[ = \frac{1}{2} \left( 89 - \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ \right) \] Do \(\sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ = 0\) (tương tự như phần a), ta có: \[ B = \frac{1}{2} \times 89 = 44.5 \] c) Tính giá trị của biểu thức \( C = \tan 1^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \tan 5^\circ \cdots \tan 89^\circ \). Sử dụng tính chất \(\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta\), ta thấy rằng: - \(\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ = \tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ = 1\) - \(\tan 3^\circ \cdot \tan 87^\circ = \tan 3^\circ \cdot \cot 3^\circ = 1\) - \(\ldots\) Tất cả các cặp này đều bằng 1, do đó \( C = 1 \). d) Tính giá trị của biểu thức \( D = \cos 0^\circ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \ldots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \). Biểu thức này có thể được viết lại như sau: \[ D = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \ldots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \] Tương tự như phần a), các cặp đối xứng qua \(90^\circ\) sẽ triệt tiêu nhau: - \(\cos 0^\circ + \cos 180^\circ = 1 + (-1) = 0\) - \(\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0\) - \(\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0\) - \(\cos 60^\circ + \cos 120^\circ = 0\) - \(\cos 80^\circ + \cos 100^\circ = 0\) Do đó, \( D = 0 \). Kết luận: - \( A = 0 \) - \( B = 44.5 \) - \( C = 1 \) - \( D = 0 \) Câu 13: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các định lý lượng giác. Trước tiên, ta cần tìm giá trị của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ dựa vào $\tan\alpha = 2$. Bước 1: Tìm $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ Vì $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$, ta có thể đặt $\sin\alpha = 2k$ và $\cos\alpha = k$ với $k > 0$. Khi đó: \[ \tan\alpha = \frac{2k}{k} = 2 \] Sử dụng công thức lượng giác cơ bản $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ta có: \[ (2k)^2 + k^2 = 1 \implies 4k^2 + k^2 = 1 \implies 5k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{5} \implies k = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Vậy: \[ \sin\alpha = 2k = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos\alpha = k = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Bước 2: Tính giá trị biểu thức $G = 2\sin\alpha + \cos\alpha$ Thay các giá trị của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ vào biểu thức $G$: \[ G = 2\sin\alpha + \cos\alpha = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức $H = \frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$ Thay các giá trị của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ vào biểu thức $H$: \[ H = \frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\frac{5}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \] Kết luận a) Giá trị của biểu thức $G$ là $\sqrt{5}$. b) Giá trị của biểu thức $H$ là $5$. Câu 14: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha} \) với điều kiện \( \tan\alpha = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\): Từ \(\tan\alpha = 3\), ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 3 \implies \sin\alpha = 3\cos\alpha \] Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta thay \(\sin\alpha = 3\cos\alpha\) vào: \[ (3\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ 9\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ 10\cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = \frac{1}{10} \] \[ \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} \] Vì \(0^0 < \alpha < 180^0\), \(\cos\alpha\) có thể âm hoặc dương. Tuy nhiên, để xác định chính xác, ta cần xét dấu của \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) trong từng góc phần tư. - Nếu \(0^0 < \alpha < 90^0\) (góc phần tư I), thì \(\cos\alpha > 0\). - Nếu \(90^0 < \alpha < 180^0\) (góc phần tư II), thì \(\cos\alpha < 0\). Do \(\tan\alpha = 3 > 0\), nên \(\alpha\) nằm trong góc phần tư I, do đó \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Từ \(\sin\alpha = 3\cos\alpha\), ta có: \[ \sin\alpha = 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] 2. Tính giá trị của \(P\): Thay \(\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}\) và \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\) vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha} \] \[ = \frac{2 \times \frac{3}{\sqrt{10}} - 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}}}{3 \times \frac{3}{\sqrt{10}} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{10}}} \] \[ = \frac{\frac{6}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{10}}} \] \[ = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{11}{\sqrt{10}}} \] \[ = \frac{3}{11} \] Vậy, giá trị của biểu thức \(P\) là \(\frac{3}{11}\). Câu 15: Để tính giá trị của biểu thức \( P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \) khi biết \( \cos x = \frac{1}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin^2 x\): - Ta biết rằng \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). - Thay giá trị \( \cos x = \frac{1}{2} \) vào công thức trên: \[ \sin^2 x + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \] 2. Thay giá trị của \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\) vào biểu thức \(P\): - Biểu thức \( P \) là: \[ P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \] - Thay \( \sin^2 x = \frac{3}{4} \) và \( \cos^2 x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \): \[ P = 3 \left( \frac{3}{4} \right) + 4 \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{9}{4} + 1 \] \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{13}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( \frac{13}{4} \). Câu 16: Để tính giá trị của biểu thức \( C = \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha + 2\sin\alpha} \) khi biết \( \tan\alpha = \sqrt{2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) theo \(\tan\alpha\): Ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{2} \] Suy ra: \sin\alpha = \sqrt{2} \cos\alpha 2. Sử dụng công thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): Thay \(\sin\alpha = \sqrt{2} \cos\alpha\) vào công thức này: (\sqrt{2} \cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 3\cos^2\alpha = 1 \cos^2\alpha = \frac{1}{3} \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} Vì \(\alpha\) nằm trong nửa đường tròn đơn vị (góc phần tư I và II), nên \(\cos\alpha\) có thể là dương hoặc âm. Tuy nhiên, vì \(\tan\alpha = \sqrt{2}\) là dương, \(\alpha\) nằm trong góc phần tư I, do đó \(\cos\alpha\) cũng phải dương: \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\alpha = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} 3. Thay \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) vào biểu thức \(C\): C = \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha + 2\sin\alpha} C = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 + 2\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)} C = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6\sqrt{6}}{27} + 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}} C = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6\sqrt{6}}{27} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{6}}{3}} Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 17: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{2\sin\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha}{4\sin\alpha + 3\sqrt{2}\cos\alpha} \) biết \( \cot\alpha = -\sqrt{2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi \( \cot\alpha = -\sqrt{2} \) thành \( \tan\alpha \). Ta có: \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \] \[ -\sqrt{2} = \frac{1}{\tan\alpha} \] \[ \tan\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Bước 2: Biểu diễn \( \sin\alpha \) và \( \cos\alpha \) theo \( \tan\alpha \). Ta biết rằng: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Giả sử \( \cos\alpha = k \), thì \( \sin\alpha = -\frac{k}{\sqrt{2}} \). Thay vào công thức Pythagoras: \[ \left(-\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^2 + k^2 = 1 \] \[ \frac{k^2}{2} + k^2 = 1 \] \[ \frac{3k^2}{2} = 1 \] \[ 3k^2 = 2 \] \[ k^2 = \frac{2}{3} \] \[ k = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \] Do \( \cot\alpha = -\sqrt{2} \) nên \( \alpha \) nằm trong góc phần tư thứ IV hoặc II. Ta chọn \( \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \) và \( \sin\alpha = -\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Bước 3: Thay \( \sin\alpha \) và \( \cos\alpha \) vào biểu thức \( P \). \[ P = \frac{2\sin\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha}{4\sin\alpha + 3\sqrt{2}\cos\alpha} \] \[ P = \frac{2\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}{4\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 3\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)} \] \[ P = \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{-\frac{4}{\sqrt{3}} + 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}} \] \[ P = \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}}}{-\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{6}{\sqrt{3}}} \] \[ P = \frac{-\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \] \[ P = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( -2 \).