Tính giá trị S.

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về hoán vị (permutation). Hoán vị \( A_n^k \) là số cách sắp xếp \( k \) phần tử từ \( n \) phần tử khác nhau. Công thức tính hoán vị là: \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Trong bài toán này, chúng ta cần tính tổng: \[ S = \frac{1}{A_2^2} + \frac{1}{A_3^2} + \cdots + \frac{1}{A_{2023}^2} \] Đầu tiên, chúng ta sẽ tính \( A_n^2 \): \[ A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1) \] Do đó, mỗi số hạng trong tổng \( S \) có dạng: \[ \frac{1}{A_n^2} = \frac{1}{n(n-1)} \] Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại tổng \( S \): \[ S = \sum_{n=2}^{2023} \frac{1}{n(n-1)} \] Chúng ta có thể phân tích mỗi số hạng thành hai phân số: \[ \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \] Do đó, tổng \( S \) trở thành: \[ S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2022} - \frac{1}{2023} \right) \] Nhận thấy rằng hầu hết các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại: \[ S = 1 - \frac{1}{2023} \] Cuối cùng, chúng ta tính giá trị của \( S \): \[ S = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2023}{2023} - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023} \] Vậy giá trị của biểu thức \( S \) là: \[ S = \frac{2022}{2023} \]