Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho AD là đường cao. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm M của cạnh AC. Chứng minh tứ giác ADCE là hình chữ nhật.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh tứ giác $ADCE$ là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. Dưới đây là các bước lập luận chi tiết:

1. Tam giác cân và đường cao:
   - Tam giác $ABC$ có $AB = AC$, do đó tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$.
   - $AD$ là đường cao của tam giác cân $ABC$, nên $AD$ cũng là đường phân giác và đường trung trực của cạnh $BC$. Điều này có nghĩa là $BD = DC$ và $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$.

2. Trung điểm và đối xứng:
   - Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$, do đó $AM = MC$.
   - Điểm $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $M$, nên $M$ cũng là trung điểm của đoạn thẳng $DE$. Điều này có nghĩa là $MD = ME$.

3. Chứng minh các góc vuông:
   - Vì $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $\angle ADB = 90^\circ$.
   - Do $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $M$, nên $DE$ song song với $AC$ và $DE = AC$.
   - Vì $M$ là trung điểm của cả $AC$ và $DE$, nên $AC$ song song với $DE$ và $AD$ vuông góc với $DE$. Do đó, $\angle ADE = 90^\circ$.

4. Kết luận:
   - Tứ giác $ADCE$ có hai cặp cạnh đối song song ($AD$ song song với $CE$ và $AC$ song song với $DE$) và có một góc vuông $\angle ADE = 90^\circ$.
   - Do đó, tứ giác $ADCE$ là hình chữ nhật vì nó có bốn góc vuông.

Vậy, tứ giác $ADCE$ là hình chữ nhật.