Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Gọi N là trung điểm của AC, trên tia MN lấy điểm K sao cho KN = MN. Chứng minh: a) Tứ giác AMCK là hình thoi b) Tứ giác ABMK là hình bình hành c) Gọi...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi: - Ta có AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC tại A, do đó AM = MC. - N là trung điểm của AC, nên AN = NC. - Trên tia MN, lấy điểm K sao cho KN = MN. Do đó, MN = NK. - Xét tứ giác AMCK: - AM = MC (do AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC). - AN = NC (do N là trung điểm của AC). - MN = NK (do KN = MN). - Từ các điều trên, ta có AM = MC và MN = NK, suy ra AM = CK và AC = MK. - Do đó, tứ giác AMCK có các cạnh đối bằng nhau, nên AMCK là hình thoi. b) Chứng minh tứ giác ABMK là hình bình hành: - Ta đã có AM = MK (từ phần a). - Ta cần chứng minh AB song song với MK và AB = MK. - Vì AM = MK và AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC, nên AM = MB. - Do đó, AB = MK. - Xét tam giác ABM và tam giác MKM: - AM = MK (đã chứng minh). - MB = AM (do AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC). - Góc BAM = góc KMA (cùng phụ với góc AMB). - Do đó, tam giác ABM đồng dạng với tam giác MKM, suy ra AB // MK. - Vậy tứ giác ABMK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABMK là hình bình hành. c) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng: - Gọi I là trung điểm của MC, do đó MI = IC. - D là điểm trên tia AM sao cho MD = MA. - Ta cần chứng minh D, I, K thẳng hàng. - Xét tam giác AMC và tam giác MIK: - MI = IC (do I là trung điểm của MC). - MA = MD (do D là điểm trên tia AM sao cho MD = MA). - MN = NK (do KN = MN). - Do đó, tam giác MIK đồng dạng với tam giác AMC. - Suy ra, D, I, K thẳng hàng theo định lý đường trung tuyến và đường phân giác trong tam giác đồng dạng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.