Đúng /sai nhé

Câu 26: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \). 1. Xét khoảng nghịch biến và đồng biến: - Trên khoảng \((-\infty, 1)\), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((1, 3)\), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng \((3, +\infty)\), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. Kết luận: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, 3)\) là sai. 2. Xét điểm cực trị: - Tại \( x = 1 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). - Tại \( x = 3 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \). Kết luận: B. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \) là sai. 3. Giá trị cực tiểu: - Tại \( x = 1 \), hàm số đạt cực tiểu với giá trị \( y = -\frac{1}{3} \). Kết luận: C. Hàm số có giá trị cực tiểu là \(-\frac{1}{3}\) là đúng. 4. Xét sự tồn tại của cực trị: - Hàm số có cực tiểu tại \( x = 1 \) và cực đại tại \( x = 3 \). Kết luận: D. Hàm số không có cực trị là sai. Tóm lại, đáp án đúng là C. Câu 27: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x+a}{x-1} \) và xét dấu của đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). Vậy ĐKXĐ là \( x \neq 1 \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{(x-1) \cdot 1 - (x+a) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-(x+a)}{(x-1)^2} = \frac{-a-1}{(x-1)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm - Tử số của đạo hàm là \(-a-1\), là một hằng số. - Mẫu số \((x-1)^2\) luôn dương với mọi \(x \neq 1\). Do đó, dấu của \(y'\) phụ thuộc vào dấu của \(-a-1\): - Nếu \(-a-1 > 0\) (tức là \(a < -1\)), thì \(y' > 0\) với mọi \(x \neq 1\). - Nếu \(-a-1 < 0\) (tức là \(a > -1\)), thì \(y' < 0\) với mọi \(x \neq 1\). Bước 4: Kết luận Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy hàm số có xu hướng giảm từ trái qua phải, điều này cho thấy đạo hàm \(y'\) phải âm với mọi \(x \neq 1\). Vậy đáp án đúng là \(D.~y' < 0,~\forall x \neq 1.\)