Làm bài tập

Câu 1: Để chuyển đổi số đo của một cung tròn từ radian sang độ, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ 1 \text{ radian} = \frac{180^\circ}{\pi} \] Do đó, nếu cung tròn có số đo bằng \(\frac{5\pi}{4}\) radian, ta có thể tính số đo bằng độ như sau: \[ \text{Số đo bằng độ} = \frac{5\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Khi thực hiện phép nhân, ta có: \[ \text{Số đo bằng độ} = \frac{5 \times 180^\circ}{4} \] \[ = \frac{900^\circ}{4} \] \[ = 225^\circ \] Vậy số đo bằng độ của cung tròn đó là \(225^\circ\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~225^\circ\). Câu 2: Để đổi số đo góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radian} \] Do đó, để đổi 108° sang radian, ta thực hiện phép nhân: \[ 108^\circ = 108 \times \frac{\pi}{180} \text{ radian} \] Rút gọn phân số: \[ = \frac{108\pi}{180} \] Chia cả tử và mẫu cho 36 (ước chung lớn nhất của 108 và 180): \[ = \frac{3\pi}{5} \] Vậy, số đo góc 108° đổi ra radian là \(\frac{3\pi}{5}\). Do đó, đáp án đúng là \(\boxed{\frac{3\pi}{5}}\). Câu 3: Để chuyển đổi số đo góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo góc (radian)} = \text{Số đo góc (độ)} \times \frac{\pi}{180} \] Áp dụng công thức này cho góc \(105^\circ\): \[ 105^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{105\pi}{180} \] Rút gọn phân số \(\frac{105}{180}\): - Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 105 và 180. Ta có: - 105 = 3 \times 5 \times 7 - 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 ƯCLN của 105 và 180 là \(3 \times 5 = 15\). - Chia cả tử và mẫu của phân số \(\frac{105}{180}\) cho 15: \[ \frac{105}{180} = \frac{105 \div 15}{180 \div 15} = \frac{7}{12} \] Vậy số đo góc \(105^\circ\) đổi sang radian là \(\frac{7\pi}{12}\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~\frac{7\pi}{12}\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích vị trí của điểm \( M \) trên đường tròn lượng giác và xác định số đo cung \( \overset{\sim}{AM} \). 1. Xác định vị trí của điểm \( M \): - Đường tròn lượng giác có tâm \( O \) và bán kính bằng 1, với trục hoành \( Ox \) và trục tung \( Oy \). - Điểm \( M \) nằm trên đường tròn lượng giác sao cho \(\widehat{MOx} = \widehat{MOy} = 45^\circ\). 2. Phân tích góc \(\widehat{MOx}\) và \(\widehat{MOy}\): - \(\widehat{MOx} = 45^\circ\) có nghĩa là điểm \( M \) nằm trên đường thẳng tạo với trục \( Ox \) một góc \( 45^\circ \) theo chiều dương. - \(\widehat{MOy} = 45^\circ\) có nghĩa là điểm \( M \) nằm trên đường thẳng tạo với trục \( Oy \) một góc \( 45^\circ \) theo chiều dương. 3. Xác định số đo cung \(\overset{\sim}{AM}\): - Từ hai điều kiện trên, ta thấy rằng điểm \( M \) nằm trên đường thẳng tạo với trục \( Ox \) một góc \( 45^\circ \) và với trục \( Oy \) một góc \( 45^\circ \). Điều này chỉ xảy ra khi điểm \( M \) nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. - Số đo cung \(\overset{\sim}{AM}\) từ điểm gốc \( A \) (tương ứng với góc \( 0^\circ \)) đến điểm \( M \) là \( 45^\circ \) hay \(\frac{\pi}{4}\) radian. 4. Xét các mệnh đề: - Mệnh đề \( A \): \( sđ\widetilde{AM} = \frac{\pi}{4} + k2\pi,~k\in\mathbb{Z} \) là đúng vì số đo cung \(\overset{\sim}{AM}\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(\frac{\pi}{4}\) cộng với bội số của \(2\pi\) (do tính tuần hoàn của đường tròn lượng giác). - Mệnh đề \( B \): \( sđ\overset\sim{AM} = \frac{\pi}{4} + k\pi,~k\in\mathbb{Z} \) là sai vì \( k\pi \) không phản ánh đúng tính tuần hoàn của đường tròn lượng giác. - Mệnh đề \( C \): \( sđ\widetilde{AM} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi,~k\in\mathbb{Z} \) là sai vì số đo cung \(\overset{\sim}{AM}\) không thể là \(-\frac{\pi}{4}\) khi \( M \) nằm ở góc phần tư thứ nhất. - Mệnh đề \( D \): \( sđ\widetilde{AM} = -\frac{\pi}{4} + k\pi,~k\in\mathbb{Z} \) là sai vì lý do tương tự như mệnh đề \( C \). Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề \( A \). Câu 5: Để tìm mệnh đề đúng, ta cần hiểu rõ mối quan hệ giữa radian và độ. Một vòng tròn có $360^\circ$ tương ứng với $2\pi$ radian. Do đó, ta có công thức chuyển đổi giữa độ và radian như sau: \[ 180^\circ = \pi \text{ radian} \] Bây giờ, ta sẽ xem xét từng mệnh đề: - $\textcircled{A.}~\pi~rad=(\frac{180}\pi)$: Mệnh đề này không đúng vì $\pi$ radian tương ứng với $180^\circ$, không phải là $\frac{180}{\pi}$. - $B.~\pi rad=1^0.$: Mệnh đề này không đúng vì $\pi$ radian tương ứng với $180^\circ$, không phải $1^\circ$. - $C.~\pi rad=60^0.$: Mệnh đề này không đúng vì $\pi$ radian tương ứng với $180^\circ$, không phải $60^\circ$. - $D.~\pi rad=180^0.$: Mệnh đề này đúng vì như đã nêu ở trên, $\pi$ radian tương ứng với $180^\circ$. Vậy, mệnh đề đúng là $\boxed{D.~\pi rad=180^0.}$ Câu 6: Để tìm số đo rađian của cung tròn, ta sử dụng công thức liên hệ giữa độ dài cung tròn, bán kính và số đo rađian của cung tròn đó. Công thức là: \[ l = r \cdot \theta \] trong đó: - \( l \) là độ dài cung tròn, - \( r \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo rađian của cung tròn. Theo đề bài, ta có: - Độ dài cung tròn \( l = 10 \), - Bán kính \( r = 5 \). Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ 10 = 5 \cdot \theta \] Giải phương trình này để tìm \( \theta \): \[ \theta = \frac{10}{5} = 2 \] Vậy số đo rađian của cung tròn đó là 2. Do đó, đáp án đúng là A. 2. Câu 7: Để chuyển đổi số đo góc từ radian sang độ, ta sử dụng công thức: \[ 1 \text{ radian} = \frac{180}{\pi} \text{ độ} \] Do đó, số đo góc $-\frac{3\pi}{16}$ radian có thể được chuyển đổi sang độ như sau: \[ -\frac{3\pi}{16} \times \frac{180}{\pi} = -\frac{3 \times 180}{16} = -\frac{540}{16} \] Thực hiện phép chia: \[ -\frac{540}{16} = -33.75 \] Số đo $-33.75$ độ có thể được viết dưới dạng độ và phút. Ta có: - Phần nguyên là $-33$ độ. - Phần thập phân $0.75$ độ chuyển đổi sang phút bằng cách nhân với $60$: \[ 0.75 \times 60 = 45 \text{ phút} \] Vậy số đo góc $-\frac{3\pi}{16}$ radian là $-33$ độ $45$ phút. Do đó, đáp án đúng là $\boxed{D.~-33^045^\prime}$. Câu 8: Để tìm độ dài cung tròn, ta sử dụng công thức: \[ l = R \cdot \theta \] trong đó \( l \) là độ dài cung tròn, \( R \) là bán kính của đường tròn, và \( \theta \) là góc ở tâm tính bằng radian. Trước tiên, ta cần chuyển đổi góc từ độ sang radian. Góc đã cho là \( 40' \) (phút). Ta biết rằng: - \( 1^\circ = 60' \) - \( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \) radian Do đó, \( 40' \) sẽ tương ứng với: \[ 40' = \frac{40}{60}^\circ = \frac{2}{3}^\circ \] Chuyển đổi từ độ sang radian: \[ \theta = \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{540} = \frac{\pi}{270} \text{ radian} \] Bây giờ, áp dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ l = 10 \cdot \frac{\pi}{270} = \frac{10\pi}{270} = \frac{\pi}{27} \text{ cm} \] Để tính giá trị gần đúng, ta sử dụng giá trị xấp xỉ của \(\pi \approx 3.14\): \[ l \approx \frac{3.14}{27} \approx 0.1163 \text{ cm} \] Có vẻ như đã có sai sót trong tính toán hoặc đề bài, vì kết quả này không khớp với các đáp án đã cho. Hãy kiểm tra lại các bước tính toán hoặc đề bài để đảm bảo tính chính xác. Câu 9: Để tìm số đo (theo radian) của cung có độ dài $3\pi$ cm trên đường tròn có bán kính 9 cm, ta thực hiện các bước sau: 1. Công thức tính độ dài cung tròn: Độ dài cung tròn $l$ được tính theo công thức: \[ l = r \cdot \theta \] trong đó $r$ là bán kính của đường tròn và $\theta$ là số đo của cung (theo radian). 2. Áp dụng công thức: Với $l = 3\pi$ cm và $r = 9$ cm, ta có: \[ 3\pi = 9 \cdot \theta \] 3. Giải phương trình để tìm $\theta$: Chia cả hai vế của phương trình cho 9: \[ \theta = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3} \] 4. Kết luận: Số đo (theo radian) của cung là $\frac{\pi}{3}$. Vậy đáp án đúng là $A.~\frac{\pi}{3}$. Câu 10: Để tính bán kính \( R \) của đường tròn khi biết độ dài cung và số đo cung, ta sử dụng công thức tính độ dài cung: \[ l = R \cdot \theta \] trong đó: - \( l \) là độ dài cung, - \( R \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo cung tính bằng radian. Theo đề bài, ta có: - Độ dài cung \( l = 24 \) cm, - Số đo cung \( \theta = \frac{5}{3} \) rad. Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ 24 = R \cdot \frac{5}{3} \] Giải phương trình này để tìm \( R \): \[ R = \frac{24 \cdot 3}{5} = \frac{72}{5} = 14,4 \] Vậy bán kính \( R \) của đường tròn là \( 14,4 \) cm. Đáp án đúng là \( C.~R=14,4~cm. \) Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần xác định số đo góc mà bánh xe đã quay khi di chuyển 10 răng. 1. Xác định số đo góc của một răng: Bánh xe có tổng cộng 72 răng. Khi bánh xe quay hết một vòng, nó quay được một góc $360^\circ$. Do đó, số đo góc tương ứng với một răng là: \[ \frac{360^\circ}{72} = 5^\circ \] 2. Tính số đo góc khi di chuyển 10 răng: Khi bánh xe di chuyển 10 răng, số đo góc mà bánh xe đã quay được là: \[ 10 \times 5^\circ = 50^\circ \] Vậy, số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là $50^\circ$. Do đó, đáp án đúng là $C.~50^\circ$. Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần tính số vòng quay của bánh xe trong 25 giây khi xe chạy với vận tốc 40 km/h. Bước 1: Tính chu vi của bánh xe Đường kính của bánh xe là 55 cm, do đó bán kính \( r \) là: \[ r = \frac{55}{2} = 27.5 \text{ cm} \] Chu vi của bánh xe (C) được tính bằng công thức: \[ C = 2 \pi r = 2 \pi \times 27.5 \] \[ C = 55 \pi \text{ cm} \] Bước 2: Tính quãng đường xe đi được trong 25 giây Vận tốc của xe là 40 km/h. Đổi vận tốc này sang cm/s: \[ 40 \text{ km/h} = 40000 \text{ m/h} = 4000000 \text{ cm/h} \] Đổi giờ sang giây: \[ 1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \] Vậy vận tốc là: \[ \frac{4000000}{3600} \text{ cm/s} \approx 1111.11 \text{ cm/s} \] Quãng đường xe đi được trong 25 giây là: \[ 1111.11 \times 25 \approx 27777.75 \text{ cm} \] Bước 3: Tính số vòng quay của bánh xe Số vòng quay của bánh xe là quãng đường chia cho chu vi bánh xe: \[ \text{Số vòng quay} = \frac{27777.75}{55 \pi} \] Tính toán: \[ \frac{27777.75}{55 \pi} \approx \frac{27777.75}{172.787} \approx 160.75 \] Làm tròn số vòng quay gần nhất: Số vòng quay gần bằng 161. Vậy đáp án đúng là B. 161. Câu 13: Ta biết rằng với mọi góc \( x \), ta có công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \] Do đó, trong các hệ thức đã cho, hệ thức đúng là: \[ A.~\sin^2x+\cos^2x=1. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A}. \] Câu 14: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để tìm ra khẳng định sai. A. $\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$ - Ta biết rằng $\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$ vì $\tan$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. - Khẳng định này đúng. B. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$ - Ta biết rằng $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$ theo công thức lượng giác cơ bản. - Khẳng định này sai. C. $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$ - Ta biết rằng $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$ vì $\cot$ là hàm lẻ. - Khẳng định này đúng. D. $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ - Ta biết rằng $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ theo công thức lượng giác cơ bản. - Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là B. Đáp án: B. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$ Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét vị trí của góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác. 1. Xác định góc $\alpha$: Điều kiện cho trước là $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Điều này có nghĩa là góc $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. 2. Xét dấu của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$: - Trong góc phần tư thứ hai, giá trị của $\sin\alpha$ là dương. Điều này là do trong góc phần tư thứ hai, trục tung (trục $y$) của đường tròn lượng giác là dương, và $\sin\alpha$ được xác định bởi trục tung này. - Ngược lại, giá trị của $\cos\alpha$ là âm trong góc phần tư thứ hai. Điều này là do trong góc phần tư thứ hai, trục hoành (trục $x$) của đường tròn lượng giác là âm, và $\cos\alpha$ được xác định bởi trục hoành này. 3. Kết luận: Từ các phân tích trên, ta có: - $\sin\alpha > 0$ (dương) - $\cos\alpha < 0$ (âm) Do đó, đáp án đúng là $B.~\sin\alpha< 0,~\cos\alpha< 0.$ là sai. Đáp án đúng phải là $\sin\alpha > 0,~\cos\alpha < 0.$ Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng hoàn toàn. Có thể có sự nhầm lẫn trong việc đưa ra các lựa chọn.