Phương trình đường thẳng d là?

Câu 39: Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2;1)\) và cắt các tia \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2;1)\) có dạng tổng quát: \[ y - 1 = m(x - 2) \] hay \[ y = mx - 2m + 1 \] 2. Tìm tọa độ điểm \(A\) và \(B\): - Điểm \(A\) nằm trên trục \(Ox\) (tức là \(y = 0\)), thay vào phương trình đường thẳng: \[ 0 = mx - 2m + 1 \implies x = \frac{2m - 1}{m} \] Vậy \(A\left(\frac{2m - 1}{m}; 0\right)\). - Điểm \(B\) nằm trên trục \(Oy\) (tức là \(x = 0\)), thay vào phương trình đường thẳng: \[ y = m \cdot 0 - 2m + 1 = 1 - 2m \] Vậy \(B(0; 1 - 2m)\). 3. Diện tích tam giác \(OAB\): Diện tích tam giác \(OAB\) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_A \cdot y_B - x_B \cdot y_A \right| \] Thay tọa độ \(A\) và \(B\) vào, ta có: \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{2m - 1}{m} \cdot (1 - 2m) - 0 \cdot 0 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{(2m - 1)(1 - 2m)}{m} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{2m - 1 - 4m^2 + 2m}{m} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{-4m^2 + 4m - 1}{m} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -4m + \frac{4m - 1}{m} \right| \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích: Để diện tích \(S\) nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| -4m + \frac{4m - 1}{m} \right| \] Đặt \(f(m) = -4m + \frac{4m - 1}{m}\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(|f(m)|\). Để đơn giản, ta xét \(f(m) = -4m + \frac{4m - 1}{m}\) và tìm giá trị \(m\) sao cho \(f(m) = 0\): \[ -4m^2 + 4m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 16 - 16 = 0 \] Phương trình có nghiệm kép: \[ m = \frac{-4}{2 \cdot (-4)} = \frac{1}{2} \] Khi \(m = \frac{1}{2}\), đường thẳng \(d\) có phương trình: \[ y = \frac{1}{2}x - 1 + 1 = \frac{1}{2}x \] Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = \frac{1}{2}x\).