Giúp mình với!

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( H(a; b; c) \) là chân đường cao hạ từ \( A \) của tam giác \( \Delta ABC \). Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa tam giác \( \Delta ABC \) Do \( H \) là chân đường cao hạ từ \( A \), nên \( \overrightarrow{AH} \) vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác \( \Delta ABC \). Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của hai cạnh của tam giác, chẳng hạn \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \). - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = (1 - 2; -1 + 1; 2 - 1) = (-1; 0; 1) \). - Vectơ \( \overrightarrow{AC} = (3 - 2; 0 + 1; 3 - 1) = (1; 1; 2) \). Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \) của mặt phẳng chứa tam giác \( \Delta ABC \) là tích có hướng của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (-1; 3; -1) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa tam giác \( \Delta ABC \) Phương trình mặt phẳng có dạng \( -1(x - 2) + 3(y + 1) - 1(z - 1) = 0 \). Rút gọn phương trình: \[ -x + 3y - z + 2 + 3 - 1 = 0 \Rightarrow -x + 3y - z + 4 = 0 \] Bước 3: Tìm tọa độ điểm \( H(a; b; c) \) Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \), nên \( H \) thuộc mặt phẳng trên và \( \overrightarrow{AH} \) vuông góc với mặt phẳng. Do đó, \( H \) có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng: \[ -a + 3b - c + 4 = 0 \] Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \), nên \( \overrightarrow{AH} \) song song với vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (-1; 3; -1) \). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AH} = k(-1; 3; -1) \] Với \( k \) là một số thực. Tọa độ của \( H \) là: \[ H(a; b; c) = (2 - k; -1 + 3k; 1 - k) \] Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ -(2 - k) + 3(-1 + 3k) - (1 - k) + 4 = 0 \] Rút gọn: \[ -2 + k - 3 + 9k - 1 + k + 4 = 0 \] \[ 11k - 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{11} \] Tọa độ của \( H \) là: \[ H\left(2 - \frac{2}{11}; -1 + \frac{6}{11}; 1 - \frac{2}{11}\right) = \left(\frac{20}{11}; -\frac{5}{11}; \frac{9}{11}\right) \] Bước 4: Tính giá trị của \( 3a - b + c \) Với \( a = \frac{20}{11}, b = -\frac{5}{11}, c = \frac{9}{11} \), ta có: \[ 3a - b + c = 3 \times \frac{20}{11} - \left(-\frac{5}{11}\right) + \frac{9}{11} \] \[ = \frac{60}{11} + \frac{5}{11} + \frac{9}{11} = \frac{74}{11} \] Vậy giá trị của \( 3a - b + c \) là \( \frac{74}{11} \). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm \( C \) trong hình bình hành \( ABCD \) và sau đó tính giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm \( B \) và \( C \) Vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có: - \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) - \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \) Từ \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (3 - 1, 4 + 1, -1 - 2) = (2, 5, -3) \] Giả sử tọa độ của \( B \) là \( (x, y, z) \), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x - 1, y + 1, z - 2) = (2, 5, -3) \] Từ đó, ta suy ra: \[ x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \] \[ y + 1 = 5 \Rightarrow y = 4 \] \[ z - 2 = -3 \Rightarrow z = -1 \] Vậy tọa độ của \( B \) là \( (3, 4, -1) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( C \) Vì \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (3 - 1, 4 + 1, -1 - 2) = (2, 5, -3) \] Giả sử tọa độ của \( C \) là \( (m, n, p) \), ta có: \[ \overrightarrow{BC} = (m - 3, n - 4, p + 1) = (2, 5, -3) \] Từ đó, ta suy ra: \[ m - 3 = 2 \Rightarrow m = 5 \] \[ n - 4 = 5 \Rightarrow n = 9 \] \[ p + 1 = -3 \Rightarrow p = -4 \] Vậy tọa độ của \( C \) là \( (5, 9, -4) \). Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \) Thay \( m = 5 \), \( n = 9 \), \( p = -4 \) vào biểu thức: \[ 6m - 112n + 18p = 6 \times 5 - 112 \times 9 + 18 \times (-4) \] \[ = 30 - 1008 - 72 \] \[ = 30 - 1080 \] \[ = -1050 \] Vậy giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \) là \(-1050\). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm $C(x, y, -1)$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Điều này có nghĩa là hai cạnh $AB$ và $AC$ phải bằng nhau và vuông góc với nhau. Bước 1: Tính vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ - Vector $\overrightarrow{AB} = (2 - 3, 1 - 1, -1 - 0) = (-1, 0, -1)$. - Vector $\overrightarrow{AC} = (x - 3, y - 1, -1 - 0) = (x - 3, y - 1, -1)$. Bước 2: Điều kiện vuông góc Hai vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(x - 3) + 0(y - 1) + (-1)(-1) = 0 \] \[ -(x - 3) + 1 = 0 \implies -x + 3 + 1 = 0 \implies x = 4 \] Bước 3: Điều kiện cân Hai cạnh $AB$ và $AC$ bằng nhau: \[ AB = AC \] Tính độ dài $AB$: \[ AB = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] Tính độ dài $AC$: \[ AC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (-1)^2} \] Thay $x = 4$ vào: \[ AC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + (y - 1)^2 + 1} \] Vì $AB = AC$, ta có: \[ \sqrt{2} = \sqrt{2 + (y - 1)^2} \] Bình phương hai vế: \[ 2 = 2 + (y - 1)^2 \implies (y - 1)^2 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1 \] Kết luận: Vậy $x = 4$ và $y = 1$. Do đó, $x + y = 4 + 1 = 5$. Giá trị của $x + y$ là 5. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo khi nó di chuyển từ điểm \(B\). Bước 1: Tính vector chỉ phương của đường đi từ \(A\) đến \(B\). Tọa độ của điểm \(A\) là \((600, 480, 6)\) và điểm \(B\) là \((720, 600, 8)\). Vector chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (720 - 600, 600 - 480, 8 - 6) = (120, 120, 2) \] Bước 2: Tính vận tốc của máy bay. Máy bay di chuyển từ \(A\) đến \(B\) trong 8 phút. Do đó, vận tốc của máy bay là: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{120}{8}, \frac{120}{8}, \frac{2}{8}\right) = (15, 15, 0.25) \] Bước 3: Tính tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo từ \(B\). Tọa độ của máy bay sau 4 phút từ \(B\) là: \[ C = B + 4 \cdot \overrightarrow{v} = (720, 600, 8) + 4 \cdot (15, 15, 0.25) \] Tính toán: \[ C = (720 + 4 \times 15, 600 + 4 \times 15, 8 + 4 \times 0.25) = (720 + 60, 600 + 60, 8 + 1) \] \[ C = (780, 660, 9) \] Kết luận: Tung độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo là \(660\). Câu 5: Để xác định khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu, ta cần xác định tọa độ của chúng trong hệ trục tọa độ Oxyz. 1. Tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất: - Cách điểm xuất phát 2 km về phía nam: \( x = 2 \) - Cách điểm xuất phát 1 km về phía đông: \( y = 1 \) - Cách mặt đất 0,5 km: \( z = 0,5 \) Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là \( (2, 1, 0,5) \). 2. Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai: - Cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc: \( x = -1 \) - Cách điểm xuất phát 1,5 km về phía tây: \( y = -1,5 \) - Cách mặt đất 0,8 km: \( z = 0,8 \) Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là \( (-1, -1,5, 0,8) \). 3. Tính khoảng cách giữa hai khinh khí cầu: Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của hai khinh khí cầu vào công thức: \[ d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1,5 - 1)^2 + (0,8 - 0,5)^2} \] \[ d = \sqrt{(-3)^2 + (-2,5)^2 + (0,3)^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 6,25 + 0,09} \] \[ d = \sqrt{15,34} \] \[ d \approx 3,92 \, \text{km} \] Vậy khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là khoảng \( 3,92 \) km. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính khoảng cách từ điểm \( A(20;5;20) \) đến vị trí thang máy có hoành độ \( x = 15 \) và tung độ \( y = 3 \). Bước 1: Xác định tọa độ điểm thang máy Vì thang máy có hoành độ \( x = 15 \) và tung độ \( y = 3 \), ta giả sử điểm thang máy có tọa độ \( B(15;3;z) \). Vì chị Lan đang đứng ở vị trí có tung độ \( y = 3 \), ta có thể giả định \( z = 0 \) (tầng trệt). Bước 2: Tính khoảng cách từ \( A \) đến \( B \) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ \( A(20;5;20) \) và \( B(15;3;0) \) vào công thức: \[ d = \sqrt{(15 - 20)^2 + (3 - 5)^2 + (0 - 20)^2} \] \[ d = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + (-20)^2} \] \[ d = \sqrt{25 + 4 + 400} \] \[ d = \sqrt{429} \] \[ d \approx 20.7 \, \text{m} \] Bước 3: Tính thời gian di chuyển Với tốc độ di chuyển là \( 1.3 \, \text{m/s} \), thời gian di chuyển \( t \) được tính bằng: \[ t = \frac{d}{v} = \frac{20.7}{1.3} \approx 15.9 \, \text{giây} \] Vậy, chị Lan mất khoảng \( 15.9 \) giây để di chuyển từ điểm \( A \) đến thang máy.