Giải giúp mình

Bài 3: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Giả sử hàm số đã cho là \( y = f(x) \). Ta cần tìm đạo hàm \( f'(x) \). 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): Tìm các giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm bằng 0. Các giá trị này là các điểm tới hạn của hàm số. 3. Xác định các điểm tới hạn và giới hạn của hàm số: Kiểm tra các điểm tới hạn và các giới hạn của miền xác định để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. 4. So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và giới hạn: Thay các giá trị \( x \) vào hàm số để tìm giá trị tương ứng và so sánh để tìm GTLN và GTNN. Giả sử hàm số đã cho là \( y = -x^2 + 2x + 2 \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = -2x + 2 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -2x + 2 = 0 \implies x = 1 \] 3. Xác định các điểm tới hạn và giới hạn của hàm số: Hàm số \( y = -x^2 + 2x + 2 \) có miền xác định là toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). 4. So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và giới hạn: Thay \( x = 1 \) vào hàm số: \[ y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \] Vì hàm số \( y = -x^2 + 2x + 2 \) là một parabol mở xuống, nên giá trị lớn nhất của hàm số là 3 tại \( x = 1 \). Do đó, hàm số có giá trị lớn nhất là Max \( y = 3 \). Đáp án: B. Có giá trị lớn nhất là Max \( y = 3 \). Câu 21: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -3x^4 + 4x^3 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^4 + 4x^3 + 1) = -12x^3 + 12x^2 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ -12x^3 + 12x^2 = 0 \] \[ -12x^2(x - 1) = 0 \] \[ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] 3. Thay các giá trị \( x = 0 \) và \( x = 1 \) vào hàm số để tìm giá trị tương ứng: \[ y(0) = -3(0)^4 + 4(0)^3 + 1 = 1 \] \[ y(1) = -3(1)^4 + 4(1)^3 + 1 = -3 + 4 + 1 = 2 \] 4. So sánh các giá trị đã tìm được để xác định giá trị lớn nhất: \[ y(0) = 1 \] \[ y(1) = 2 \] Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 1 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. 2} \] Câu 22: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng hàm số. Hàm số A: \( y = x^3 - 3x + 2 \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) 2. Đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 3 \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y' \): - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) - Khi \( -1 < x < 1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số có điểm cực đại tại \( x = -1 \) và điểm cực tiểu tại \( x = 1 \). 5. Giá trị tại các điểm cực trị: \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] \[ y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định vì nó tiếp tục giảm khi \( x \to -\infty \). Hàm số B: \( y = -2x^3 + 3x^2 - 1 \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) 2. Đạo hàm: \[ y' = -6x^2 + 6x \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -6x^2 + 6x = 0 \implies -6x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y' \): - Khi \( x < 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( 0 < x < 1 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \) Do đó, hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = 0 \) và điểm cực đại tại \( x = 1 \). 5. Giá trị tại các điểm cực trị: \[ y(0) = -2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 \] \[ y(1) = -2(1)^3 + 3(1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 \] Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định vì nó tiếp tục giảm khi \( x \to \infty \). Hàm số C: \( y = x^4 - 2x^2 - 1 \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) 2. Đạo hàm: \[ y' = 4x^3 - 4x \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y' \): - Khi \( x < -1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( -1 < x < 0 \), \( y' > 0 \) - Khi \( 0 < x < 1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số có điểm cực đại tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \), và điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). 5. Giá trị tại các điểm cực trị: \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 1 = -1 \] \[ y(\pm 1) = (\pm 1)^4 - 2(\pm 1)^2 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(-2\) tại \( x = \pm 1 \). Hàm số D: \( y = -x^4 + 4x^2 \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) 2. Đạo hàm: \[ y' = -4x^3 + 8x \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 8x = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm \sqrt{2} \] 4. Kiểm tra dấu của \( y' \): - Khi \( x < -\sqrt{2} \), \( y' < 0 \) - Khi \( -\sqrt{2} < x < 0 \), \( y' > 0 \) - Khi \( 0 < x < \sqrt{2} \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > \sqrt{2} \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số có điểm cực đại tại \( x = \pm \sqrt{2} \) và điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). 5. Giá trị tại các điểm cực trị: \[ y(0) = -0^4 + 4(0)^2 = 0 \] \[ y(\pm \sqrt{2}) = -(\pm \sqrt{2})^4 + 4(\pm \sqrt{2})^2 = -4 + 8 = 4 \] Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định vì nó tiếp tục giảm khi \( x \to \infty \). Kết luận: Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là: \[ \boxed{C.~y=x^4-2x^2-1} \] Câu 23: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 1) = -3x^2 + 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ -3x^2 + 3 = 0 \implies -3x^2 = -3 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Vì chúng ta đang xét trên khoảng \( (0; +\infty) \), nên chỉ lấy \( x = 1 \). 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) để xác định tính đơn điệu của hàm số: - Khi \( x < 1 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực trị \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] 5. Xác định giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 3x + 1) = -\infty \] 6. So sánh giá trị của hàm số tại điểm cực trị và giới hạn khi \( x \to +\infty \): - Tại \( x = 1 \), giá trị của hàm số là 3. - Khi \( x \to +\infty \), giá trị của hàm số tiến đến \(-\infty\). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp án: D. 3. Câu 24: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^4 + 6x \) trên nửa khoảng \((-2; 1]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 4x^3 + 6 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 + 6 = 0 \implies 4x^3 = -6 \implies x^3 = -\frac{3}{2} \implies x = -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \] Ta có \( -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \approx -1.14 \), nằm trong khoảng \((-2; 1]\). 3. Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của khoảng: - Tại \( x = -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \): \[ f\left( -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right) = \left( -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right)^4 + 6 \left( -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right) \] \[ = \left( \sqrt[3]{\frac{9}{4}} \right) - 6 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \] Đây là một giá trị âm, vì \( \sqrt[3]{\frac{9}{4}} < 6 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \). - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^4 + 6 \cdot 1 = 1 + 6 = 7 \] - Tại \( x = -2 \) (đầu mút trái của khoảng): \[ f(-2) = (-2)^4 + 6 \cdot (-2) = 16 - 12 = 4 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( f\left( -\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right) \) là một giá trị âm. - \( f(1) = 7 \) - \( f(-2) = 4 \) Trong đó, giá trị lớn nhất là \( 7 \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^4 + 6x \) trên nửa khoảng \((-2; 1]\) là: \[ \boxed{M = 7} \] Câu 25: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 5) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 5 = 5 \] \[ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] 4. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} (x^4 - 2x^2 + 5) = \infty \] Điều này cho thấy hàm số không có giá trị lớn nhất vì nó tăng không bị chặn khi \( x \to \pm\infty \). 5. So sánh các giá trị đã tính: - Tại \( x = 0 \), \( y = 5 \) - Tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \), \( y = 4 \) Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). Kết luận: Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. Đáp án: A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. Câu 26: Ta có: \[ y' = 2x - \frac{2}{x^2} \] \[ y' = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 1 \Leftrightarrow x = 1 \] Hàm số liên tục trên khoảng \((0; +\infty)\). Ta có: \[ y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 3 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3, đạt được tại \( x = 1 \). Đáp án đúng là: D. 3. Câu 27: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{4}{x^2 + 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{4}{x^2 + 2} \) xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có \( y = \frac{4}{x^2 + 2} \). Đạo hàm \( y' \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x^2 + 2} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(4)'(x^2 + 2) - 4(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} \] \[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 2) - 4 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} \] \[ y' = \frac{-8x}{(x^2 + 2)^2} \] 3. Tìm các điểm tới hạn: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-8x}{(x^2 + 2)^2} = 0 \] \[ -8x = 0 \] \[ x = 0 \] 4. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và giới hạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{4}{0^2 + 2} = \frac{4}{2} = 2 \] - Giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x^2 + 2} = 0 \] 5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{4}{x^2 + 2} \) là 2, đạt được khi \( x = 0 \). Đáp án đúng là: D. 2. Câu 28: Ta có \( y = x - 5 + \frac{1}{x} \). Xét đạo hàm của hàm số này: \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2}. \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad (\text{vì } x > 0). \] Bây giờ ta kiểm tra giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1 - 5 + \frac{1}{1} = 1 - 5 + 1 = -3. \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x - 5 + \frac{1}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \(-3\). Đáp án đúng là: C. -3. Câu 29: Ta có: \[ y' = -\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^2} = \frac{-2 + x}{x^3}. \] Cho \( y' = 0 \): \[ \frac{-2 + x}{x^3} = 0 \implies -2 + x = 0 \implies x = 2. \] Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực tiểu. Giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) là: \[ y(2) = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}. \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \) khi \( x > 0 \) là \( -\frac{1}{4} \). Đáp án đúng là: B. \( -\frac{1}{4} \). Câu 30: Ta có \( y' = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} \). Cho \( y' = 0 \) ta được \( x = 0 \) hoặc \( x = 4 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \((2; 6]\) sẽ nằm trong các giá trị của hàm số tại \( x = 4 \) và \( x = 6 \). Tại \( x = 4 \): \[ y = \frac{4^2}{4 - 2} = \frac{16}{2} = 8 \] Tại \( x = 6 \): \[ y = \frac{6^2}{6 - 2} = \frac{36}{4} = 9 \] So sánh hai giá trị này, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \((2; 6]\) là 8. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\min_{-\infty}y=8. \]