giải dùm mình ạ

Câu 1: Để tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB^\prime} + \overrightarrow{C^\prime A^\prime}\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ tọa độ: Đặt hệ tọa độ \(Oxyz\) sao cho: - Điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\). - Điểm \(B\) có tọa độ \((4, 0, 0)\) vì \(AB = 4\). - Điểm \(C\) có tọa độ \((2, 2\sqrt{3}, 0)\) vì tam giác \(ABC\) đều cạnh 4, nên \(C\) nằm trên đường tròn tâm \(A\) bán kính 4 và cách đều \(A\) và \(B\). Các điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\) là các điểm tương ứng với \(A\), \(B\), \(C\) nhưng có độ cao 7, do đó: - Điểm \(A'\) có tọa độ \((0, 0, 7)\). - Điểm \(B'\) có tọa độ \((4, 0, 7)\). - Điểm \(C'\) có tọa độ \((2, 2\sqrt{3}, 7)\). 2. Tính các vectơ thành phần: - Vectơ \(\overrightarrow{AB^\prime}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB^\prime} = (4 - 0, 0 - 0, 7 - 0) = (4, 0, 7) \] - Vectơ \(\overrightarrow{C^\prime A^\prime}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{C^\prime A^\prime} = (0 - 2, 0 - 2\sqrt{3}, 7 - 7) = (-2, -2\sqrt{3}, 0) \] 3. Tính tổng của hai vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB^\prime} + \overrightarrow{C^\prime A^\prime}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{a} = (4 - 2, 0 - 2\sqrt{3}, 7 + 0) = (2, -2\sqrt{3}, 7) \] 4. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\): - Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 12 + 49} = \sqrt{65} \] Vậy, độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \(\sqrt{65}\). Câu 2: Để chứng minh các đẳng thức vectơ trong hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), ta cần sử dụng các tính chất của vectơ và hình hộp. Hình hộp có các cạnh song song và bằng nhau, điều này sẽ giúp chúng ta dễ dàng biểu diễn các vectơ theo các vectơ cơ bản. a) Chứng minh \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AC'}\): 1. Trong hình hộp, ta có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C'D'}\) vì \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) là các mặt song song và bằng nhau. 2. Ta cũng có \(\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AD}\) vì \(B'C'\) và \(AD\) là các cạnh tương ứng của các mặt song song và bằng nhau. 3. Do đó, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{C'D'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}\). 4. Thêm \(\overrightarrow{DD'}\) vào cả hai vế, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CD'}. \] 5. Vì \(\overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AC'}\) (do \(C\) và \(C'\) là các đỉnh đối diện của hình hộp), ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AC'}. \] b) Chứng minh \(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BB'}\): 1. Ta có \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'}\) vì \(BD\) và \(B'D'\) là các cạnh tương ứng của các mặt song song và bằng nhau. 2. Do đó, \(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{0}\). 3. Ta có \(\overrightarrow{D'D} = -\overrightarrow{DD'}\), do đó: \[ \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{DD'}. \] 4. Vì \(\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}\) (do \(D\) và \(D'\) là các đỉnh đối diện của hình hộp), ta có: \[ \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BB'}. \] c) Chứng minh \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{0}\): 1. Ta có \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). 2. Ta có \(\overrightarrow{BA'} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}\). 3. Ta có \(\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}\). 4. Ta có \(\overrightarrow{C'D} = -\overrightarrow{DC'}\). 5. Tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}) + (-\overrightarrow{BD}) + (-\overrightarrow{DC'}). \] 6. Rút gọn các vectơ: \[ = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{DC'}. \] 7. Vì \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC'}\) và \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BD}\), ta có: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{0}. \] Vậy, các đẳng thức vectơ đã được chứng minh.