giải trắc nghiệm chi tiết

Câu 1: Để xác định mệnh đề nào là đúng, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: Mệnh đề A: "Nếu 2 vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng." - Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi tồn tại một số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}\). Nếu \(k > 0\), thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng. Tuy nhiên, nếu \(k < 0\), thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng. Do đó, mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp. Mệnh đề B: "Nếu 2 vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) thì 2 vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương." - Nếu \(\overrightarrow{a}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{b}\) cũng cùng phương với \(\overrightarrow{c}\), thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều có thể được biểu diễn dưới dạng \(\overrightarrow{a} = k_1\overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{b} = k_2\overrightarrow{c}\) với \(k_1, k_2\) là các số thực. Do đó, \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương. Mệnh đề này đúng. Mệnh đề C: "Nếu tồn tại số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}\) thì 2 vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng." - Như đã phân tích ở mệnh đề A, nếu \(k > 0\), thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng. Tuy nhiên, nếu \(k < 0\), thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng. Do đó, mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp. Mệnh đề D: "Nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là 2 vectơ khác \(\overrightarrow{0}\) đều ngược hướng với \(\overrightarrow{c} \ne \overrightarrow{0}\) và \(|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng nhau." - Nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\), thì \(\overrightarrow{a} = -k_1\overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{b} = -k_2\overrightarrow{c}\) với \(k_1, k_2 > 0\). Nếu \(|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|\), thì \(|-k_1\overrightarrow{c}| = |-k_2\overrightarrow{c}|\), dẫn đến \(k_1 = k_2\). Do đó, \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\). Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề B và D là đúng. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định số vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 4 điểm phân biệt A, B, C, D. 1. Xác định số cách chọn điểm đầu và điểm cuối: - Ta có 4 điểm phân biệt: A, B, C, D. - Để tạo thành một vectơ, ta cần chọn một điểm làm điểm đầu và một điểm khác làm điểm cuối. - Số cách chọn điểm đầu là 4 (vì có 4 điểm). - Sau khi đã chọn điểm đầu, ta còn lại 3 điểm để chọn làm điểm cuối. 2. Tính tổng số vectơ có thể tạo thành: - Số cách chọn điểm đầu và điểm cuối là: \(4 \times 3 = 12\). 3. Kết luận: - Vậy, số vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 4 điểm đã cho là 12. Do đó, đáp án đúng là D. 12. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng mệnh đề và xác định mệnh đề nào là sai. Mệnh đề A: "Nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều cùng hướng với $\overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ bằng nhau." - Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba có nghĩa là chúng có cùng phương và cùng chiều. Tuy nhiên, điều này không nhất thiết dẫn đến việc hai vectơ đó phải bằng nhau. Chúng chỉ cần có cùng phương và cùng chiều, nhưng độ dài có thể khác nhau. Tuy nhiên, trong bài toán này, cả $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều có độ dài bằng 1, nên nếu chúng cùng hướng với $\overrightarrow c$, chúng phải bằng nhau. Do đó, mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: "Nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều ngược hướng với $\overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đối nhau." - Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba có nghĩa là chúng có cùng phương nhưng ngược chiều với vectơ đó. Tuy nhiên, điều này không nhất thiết dẫn đến việc hai vectơ đó phải đối nhau. Chúng chỉ cần có cùng phương và ngược chiều với $\overrightarrow c$, nhưng không nhất thiết phải đối nhau. Do đó, mệnh đề B là sai. Mệnh đề C: "Nếu $\overrightarrow a$ và 5 đều cùng hướng với $\overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a$ và ỗ cùng hướng." - Mệnh đề này có vẻ không rõ ràng do lỗi đánh máy, nhưng nếu hiểu rằng $\overrightarrow a$ và một vectơ khác (có thể là $\overrightarrow b$) cùng hướng với $\overrightarrow c$, thì chúng cũng cùng hướng với nhau. Do đó, mệnh đề này là đúng. Mệnh đề D: "Nếu $\overrightarrow a$ và 8 đều ngược hướng với $\overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a$ và B cùng phương." - Tương tự như mệnh đề C, nếu hiểu rằng $\overrightarrow a$ và một vectơ khác (có thể là $\overrightarrow b$) ngược hướng với $\overrightarrow c$, thì chúng cùng phương với nhau. Do đó, mệnh đề này là đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề B. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MG}\) trong tứ diện đều \(ABCD\) với độ dài cạnh bằng \(2a\). 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử \(C\) có tọa độ \((0, 0, 0)\). - \(D\) có tọa độ \((2a, 0, 0)\) vì \(CD = 2a\). - \(M\) là trung điểm của \(CD\), nên tọa độ của \(M\) là \(\left(a, 0, 0\right)\). 2. Tìm tọa độ của \(B\): - Vì \(BC = BD = 2a\), ta có thể chọn tọa độ của \(B\) là \((a, a\sqrt{3}, 0)\) để thỏa mãn điều kiện \(BC = 2a\). 3. Tìm tọa độ của \(G\): - \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), nên tọa độ của \(G\) là trung bình cộng tọa độ của \(B\), \(C\), \(D\): \[ G = \left(\frac{a + 0 + 2a}{3}, \frac{a\sqrt{3} + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{3a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0\right) = \left(a, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0\right) \] 4. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MG}\): - Vectơ \(\overrightarrow{MG}\) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MG} = \left(a - a, \frac{a\sqrt{3}}{3} - 0, 0 - 0\right) = \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0\right) \] - Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MG}\) là: \[ |\overrightarrow{MG}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 0^2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MG}\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Đáp án đúng là \(A.~\frac{a\sqrt{3}}{3}.\) Câu 5: Để tìm độ lớn của hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$: Hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tạo với nhau một góc $120^\circ$. Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_{12}}$ của hai lực này được tính bằng công thức: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos(120^\circ)} \] Với $F_1 = 20$ N, $F_2 = 15$ N và $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, ta có: \[ F_{12} = \sqrt{20^2 + 15^2 + 2 \times 20 \times 15 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{400 + 225 - 300} \] \[ = \sqrt{325} \] \[ = \sqrt{25 \times 13} = 5\sqrt{13} \] 2. Tính hợp lực của $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$: Lực $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng tạo bởi $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, do đó, $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với nhau. Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ của $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ được tính bằng công thức: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] Với $F_{12} = 5\sqrt{13}$ và $F_3 = 4$ N, ta có: \[ F = \sqrt{(5\sqrt{13})^2 + 4^2} \] \[ = \sqrt{325 + 16} \] \[ = \sqrt{341} \] \[ \approx 18.466 \] Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta được $F \approx 18.47$ N. Vậy, độ lớn của hợp lực của ba lực trên là 18,47 N. Đáp án đúng là C. 18,47. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vector $\overrightarrow{BC^\prime}$ trong hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Trước tiên, ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình lăng trụ tam giác. Trong hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', các cạnh bên là các vector song song và bằng nhau. Cụ thể, $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{a}$. Bây giờ, ta sẽ tìm vector $\overrightarrow{BC^\prime}$. 1. Tính vector $\overrightarrow{BC}$: Vector $\overrightarrow{BC}$ có thể được tính bằng cách lấy vector $\overrightarrow{AC}$ trừ đi vector $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \] 2. Tính vector $\overrightarrow{BC^\prime}$: Vector $\overrightarrow{BC^\prime}$ có thể được tính bằng cách cộng vector $\overrightarrow{BC}$ với vector $\overrightarrow{CC'}$ (vì $C'$ là điểm trên cạnh bên của lăng trụ từ $C$): \[ \overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{a} \] Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] Vậy, khẳng định đúng là $\underline{A.~\overrightarrow{BC^\prime}=\overrightarrow a-\overrightarrow b+\overrightarrow c.}$ Câu 7: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình hộp và tính toán các vectơ cần thiết. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0, 0) \). - Điểm \( B \) có tọa độ \( (a, 0, 0) \) vì \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} \). - Điểm \( D \) có tọa độ \( (0, b, 0) \) vì \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} \). - Điểm \( A' \) có tọa độ \( (0, 0, c) \) vì \( \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c} \). 2. Xác định tọa độ các điểm khác: - Điểm \( C \) có tọa độ \( (a, b, 0) \) vì \( C \) là điểm đối diện với \( A \) trong mặt phẳng đáy. - Điểm \( B' \) có tọa độ \( (a, 0, c) \) vì \( B' \) là điểm đối diện với \( B \) trong mặt phẳng trên. - Điểm \( D' \) có tọa độ \( (0, b, c) \) vì \( D' \) là điểm đối diện với \( D \) trong mặt phẳng trên. - Điểm \( C' \) có tọa độ \( (a, b, c) \) vì \( C' \) là điểm đối diện với \( C \) trong mặt phẳng trên. 3. Tính toán vectơ \(\overrightarrow{BC'}\): - Vectơ \(\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OB}\). - Tọa độ của \( C' \) là \( (a, b, c) \) và tọa độ của \( B \) là \( (a, 0, 0) \). - Do đó, \(\overrightarrow{BC'} = (a, b, c) - (a, 0, 0) = (0, b, c)\). 4. Biểu diễn \(\overrightarrow{BC'}\) theo \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\): - \(\overrightarrow{BC'} = 0\overrightarrow{a} + 1\overrightarrow{b} + 1\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\). 5. So sánh với các đáp án: - Đáp án C: \(\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) là không đúng. - Đáp án D: \(\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) là không đúng. - Đáp án B: \(\overrightarrow{BC'} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) là không đúng. - Đáp án A: \(\overrightarrow{BD'} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) là không đúng. Tuy nhiên, có một sự nhầm lẫn trong việc so sánh với đáp án. Đáp án đúng phải là \(\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\), nhưng không có đáp án nào khớp với điều này. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần xác định vectơ \(\overrightarrow{MN}\) thông qua các vectơ đã cho. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{SM}\): Do \(AM = 2SM\), ta có: \[ \frac{AM}{SM} = 2 \Rightarrow \frac{SA - SM}{SM} = 2 \Rightarrow SA = 3SM \Rightarrow SM = \frac{1}{3}SA \] Vậy, \(\overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SA}\). 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{CN}\): Do \(BN = 2CN\), ta có: \[ \frac{BN}{CN} = 2 \Rightarrow \frac{BC - CN}{CN} = 2 \Rightarrow BC = 3CN \Rightarrow CN = \frac{1}{3}BC \] Vậy, \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\). 3. Xác định vectơ \(\overrightarrow{MN}\): Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MS} + \overrightarrow{SN} \] Trong đó: \[ \overrightarrow{MS} = -\overrightarrow{SM} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} \] \[ \overrightarrow{SN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] Rút gọn: \[ \overrightarrow{MN} = \left(1 - \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] Biến đổi \(\overrightarrow{AC}\) thành \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \left(1 + \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{BC} \] Kết hợp các hệ số: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} \] Vậy, hệ thức đúng là: \[ C.~\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}. \]