giải chi tiết ạ

Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình lăng trụ tứ giác đều và sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{C'D'}\). 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử đáy ABCD nằm trong mặt phẳng \(Oxy\) với: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(6, 0, 0)\) - \(C(6, 6, 0)\) - \(D(0, 6, 0)\) Vì lăng trụ là đều, các điểm \(A', B', C', D'\) là các điểm tương ứng với \(A, B, C, D\) nhưng cao hơn một khoảng bằng độ dài cạnh bên là 7. Do đó: - \(A'(0, 0, 7)\) - \(B'(6, 0, 7)\) - \(C'(6, 6, 7)\) - \(D'(0, 6, 7)\) 2. Tính các vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = (6 - 0, 6 - 0, 0 - 0) = (6, 6, 0)\) - Vectơ \(\overrightarrow{C'D'} = (0 - 6, 6 - 6, 7 - 7) = (-6, 0, 0)\) 3. Tính tích vô hướng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{C'D'}\) là: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{C'D'} = 6 \times (-6) + 6 \times 0 + 0 \times 0 = -36 \] Vậy, tích vô hướng \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{C'D'}\) bằng \(-36\). Do đó, đáp án đúng là B. -36. Câu 10: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{C'T}\). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm Giả sử đáy \(ABC\) nằm trong mặt phẳng \(Oxy\) với \(A(0, 0, 0)\), \(B(8, 0, 0)\), \(C(4, 4\sqrt{3}, 0)\). Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (6, 2\sqrt{3}, 0) \] Bước 2: Xác định tọa độ điểm \(C'\) Vì hình lăng trụ tam giác đều, nên \(C'\) có tọa độ là \(C'(4, 4\sqrt{3}, h)\), trong đó \(h\) là chiều cao của lăng trụ. Bước 3: Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{C'T}\) Vectơ \(\overrightarrow{AM}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{AM} = (6 - 0, 2\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (6, 2\sqrt{3}, 0) \] Vectơ \(\overrightarrow{C'T}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{C'T} = (4 - 4, 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}, h - 0) = (0, 0, h) \] Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{C'T}\) Tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{C'T} = 6 \cdot 0 + 2\sqrt{3} \cdot 0 + 0 \cdot h = 0 \] Tuy nhiên, do đề bài có thể có lỗi trong việc xác định điểm \(T\) hoặc \(C'\), ta cần kiểm tra lại các thông tin hoặc giả định khác. Nếu không có thông tin thêm, ta không thể xác định chính xác tích vô hướng khác 0. Với các thông tin đã cho, tích vô hướng \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{C'T}\) là 0. Tuy nhiên, nếu có thông tin khác về điểm \(T\) hoặc chiều cao \(h\), ta cần điều chỉnh lại cách tính. Câu 11: Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos C \] Theo đề bài, ta có: - \( |\overrightarrow{a}| = 3 \) - \( |\overrightarrow{b}| = 2 \) - \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ -3 = 3 \cdot 2 \cdot \cos C \] \[ -3 = 6 \cdot \cos C \] Chia cả hai vế cho 6, ta được: \[ \cos C = -\frac{1}{2} \] Góc \(C\) có \(\cos C = -\frac{1}{2}\) là góc \(120^\circ\). Vậy, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(120^\circ\). Đáp án đúng là \(D.~\alpha=120^\circ.\) Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ và các tính chất của vectơ. Hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ vuông góc với nhau, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0 \] Thay các biểu thức của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ vào, ta có: \[ \left(\frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b\right) \cdot (\overrightarrow a + \overrightarrow b) = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ \frac{2}{5} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \frac{2}{5} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3 \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - 3 \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = 0 \] Biết rằng $|\overrightarrow a| = |\overrightarrow b| = 1$, nên $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = 1$ và $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = 1$. Do đó, phương trình trở thành: \[ \frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{5} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3 \cdot 1 = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3 = 0 \] \[ \frac{2}{5} - 3 + \left(\frac{2}{5} - 3\right) \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \] \[ -\frac{13}{5} + \left(-\frac{13}{5}\right) \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \] Chia cả hai vế cho $-\frac{13}{5}$ (khác 0), ta được: \[ 1 + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \] Suy ra: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -1 \] Vì $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos Q = \cos Q$ và $|\overrightarrow a| = |\overrightarrow b| = 1$, nên: \[ \cos Q = -1 \] Điều này có nghĩa là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $180^\circ$. Vậy đáp án đúng là $B.~\alpha=180^0.$ Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ không gian. Giả sử hình lập phương có cạnh bằng 5 và đặt trong hệ tọa độ Oxyz với điểm A trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0). Khi đó, các điểm có tọa độ như sau: - A(0, 0, 0) - B(5, 0, 0) - C(5, 5, 0) - D(0, 5, 0) - A'(0, 0, 5) - B'(5, 0, 5) - C'(5, 5, 5) - D'(0, 5, 5) Bây giờ, ta sẽ giải quyết từng câu hỏi: a) Độ dài vectơ \(\overrightarrow{BD}\): Tọa độ của B là (5, 0, 0) và D là (0, 5, 0). Vectơ \(\overrightarrow{BD} = (0 - 5, 5 - 0, 0 - 0) = (-5, 5, 0)\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BD}\) là: \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] b) Độ dài vectơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD}\): - \(\overrightarrow{BB'} = (5, 0, 5) - (5, 0, 0) = (0, 0, 5)\) - \(\overrightarrow{AD} = (0, 5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5, 0)\) - \(\overrightarrow{CD} = (0, 5, 0) - (5, 5, 0) = (-5, 0, 0)\) Vậy \(\overrightarrow{a} = (0, 0, 5) + (0, 5, 0) - (-5, 0, 0) = (5, 5, 5)\). Độ dài của \(\overrightarrow{a}\) là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đề bài, vì kết quả không khớp với \(5\sqrt{5}\). Hãy kiểm tra lại các phép tính hoặc đề bài. c) So sánh \(|\overrightarrow{AC'}|\) và \(|\overrightarrow{B'D}|\): - \(\overrightarrow{AC'} = (5, 5, 5) - (0, 0, 0) = (5, 5, 5)\) - \(\overrightarrow{B'D} = (0, 5, 0) - (5, 0, 5) = (-5, 5, -5)\) Độ dài của \(\overrightarrow{AC'}\) là: \[ |\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] Độ dài của \(\overrightarrow{B'D}\) là: \[ |\overrightarrow{B'D}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] Vậy \(|\overrightarrow{AC'}| = |\overrightarrow{B'D}|\). d) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OM}\): \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'}\). Tính tổng các vectơ: - \(\overrightarrow{OA} = (0, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{OB} = (5, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{OC} = (5, 5, 0)\) - \(\overrightarrow{OD} = (0, 5, 0)\) - \(\overrightarrow{OA'} = (0, 0, 5)\) - \(\overrightarrow{OB'} = (5, 0, 5)\) - \(\overrightarrow{OC'} = (5, 5, 5)\) - \(\overrightarrow{OD'} = (0, 5, 5)\) Tổng các tọa độ: - Tổng x: \(0 + 5 + 5 + 0 + 0 + 5 + 5 + 0 = 20\) - Tổng y: \(0 + 0 + 5 + 5 + 0 + 0 + 5 + 5 = 20\) - Tổng z: \(0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 5 + 5 + 5 = 20\) Vậy \(\overrightarrow{OM} = (20, 20, 20)\). Độ dài của \(\overrightarrow{OM}\) là: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{20^2 + 20^2 + 20^2} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \] Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đề bài, vì kết quả không khớp với \(20\sqrt{2}\). Hãy kiểm tra lại các phép tính hoặc đề bài. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích tình huống và áp dụng kiến thức về vectơ và lực trong vật lý. Giả sử kiện hàng có trọng lượng là \( W \). Trọng lượng này sẽ được phân bố đều vào bốn dây treo, do đó mỗi dây sẽ chịu một lực căng có độ lớn bằng nhau. Gọi lực căng trên mỗi dây là \( T \). Vì các dây treo giống nhau hoàn toàn cả về độ dài và chất liệu, và lực căng được dàn đều, ta có thể biểu diễn lực căng trên mỗi dây bằng các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\). Theo nguyên lý cân bằng lực, tổng các lực tác dụng lên kiện hàng phải bằng không. Do đó, ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là tổng các vectơ lực căng trên bốn dây phải triệt tiêu lẫn nhau để kiện hàng ở trạng thái cân bằng. Vì các dây treo giống nhau và lực căng được dàn đều, độ lớn của các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\) là như nhau, tức là: \[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{d}| = T \] Trong trường hợp này, nếu các dây treo được bố trí đối xứng, các vectơ lực căng sẽ tạo thành một hệ vectơ đối xứng, và điều này đảm bảo rằng tổng của chúng bằng không. Tóm lại, lực căng trên mỗi dây treo là \( T \), và tổng các vectơ lực căng \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\) bằng không để kiện hàng ở trạng thái cân bằng.