Giúp mình với!

Câu 20: Để kiểm tra điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x-y+1<0\\2x-y+4>0\\x+y-4<0\end{array}\right.\), ta sẽ lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào các bất phương trình trong hệ và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các bất phương trình hay không. Kiểm tra điểm \(M(0;1)\): 1. Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào bất phương trình \(x - y + 1 < 0\): \[ 0 - 1 + 1 = 0 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] 2. Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào bất phương trình \(2x - y + 4 > 0\): \[ 2(0) - 1 + 4 = 3 > 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào bất phương trình \(x + y - 4 < 0\): \[ 0 + 1 - 4 = -3 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Do điểm \(M(0;1)\) không thỏa mãn bất phương trình đầu tiên, nên điểm \(M(0;1)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Kiểm tra điểm \(N(-1;1)\): 1. Thay \(x = -1\) và \(y = 1\) vào bất phương trình \(x - y + 1 < 0\): \[ -1 - 1 + 1 = -1 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. Thay \(x = -1\) và \(y = 1\) vào bất phương trình \(2x - y + 4 > 0\): \[ 2(-1) - 1 + 4 = 1 > 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. Thay \(x = -1\) và \(y = 1\) vào bất phương trình \(x + y - 4 < 0\): \[ -1 + 1 - 4 = -4 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Do điểm \(N(-1;1)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình, nên điểm \(N(-1;1)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Kiểm tra điểm \(P(0;3)\): 1. Thay \(x = 0\) và \(y = 3\) vào bất phương trình \(x - y + 1 < 0\): \[ 0 - 3 + 1 = -2 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. Thay \(x = 0\) và \(y = 3\) vào bất phương trình \(2x - y + 4 > 0\): \[ 2(0) - 3 + 4 = 1 > 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. Thay \(x = 0\) và \(y = 3\) vào bất phương trình \(x + y - 4 < 0\): \[ 0 + 3 - 4 = -1 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Do điểm \(P(0;3)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình, nên điểm \(P(0;3)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Kiểm tra điểm \(Q(0;2)\): 1. Thay \(x = 0\) và \(y = 2\) vào bất phương trình \(x - y + 1 < 0\): \[ 0 - 2 + 1 = -1 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. Thay \(x = 0\) và \(y = 2\) vào bất phương trình \(2x - y + 4 > 0\): \[ 2(0) - 2 + 4 = 2 > 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. Thay \(x = 0\) và \(y = 2\) vào bất phương trình \(x + y - 4 < 0\): \[ 0 + 2 - 4 = -2 < 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Do điểm \(Q(0;2)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình, nên điểm \(Q(0;2)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Kết luận: Điểm \(M(0;1)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Đáp án: \(A.~M(0;1)\). Câu 21: Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ hay không. Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \begin{cases} x - 2y < 0 \\ x + 3y > -2 \\ y - x < 3 \end{cases} \] Kiểm tra điểm \( A(1; 0) \): 1. \( x - 2y = 1 - 2 \times 0 = 1 \), không thỏa mãn \( 1 < 0 \). 2. \( x + 3y = 1 + 3 \times 0 = 1 \), thỏa mãn \( 1 > -2 \). 3. \( y - x = 0 - 1 = -1 \), thỏa mãn \( -1 < 3 \). Điểm \( A(1; 0) \) không thỏa mãn bất phương trình đầu tiên. Kiểm tra điểm \( B(-2; 3) \): 1. \( x - 2y = -2 - 2 \times 3 = -2 - 6 = -8 \), thỏa mãn \( -8 < 0 \). 2. \( x + 3y = -2 + 3 \times 3 = -2 + 9 = 7 \), thỏa mãn \( 7 > -2 \). 3. \( y - x = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \), không thỏa mãn \( 5 < 3 \). Điểm \( B(-2; 3) \) không thỏa mãn bất phương trình thứ ba. Kiểm tra điểm \( C(0; -1) \): 1. \( x - 2y = 0 - 2 \times (-1) = 0 + 2 = 2 \), không thỏa mãn \( 2 < 0 \). 2. \( x + 3y = 0 + 3 \times (-1) = 0 - 3 = -3 \), không thỏa mãn \( -3 > -2 \). 3. \( y - x = -1 - 0 = -1 \), thỏa mãn \( -1 < 3 \). Điểm \( C(0; -1) \) không thỏa mãn bất phương trình đầu tiên và thứ hai. Kiểm tra điểm \( D(-1; 0) \): 1. \( x - 2y = -1 - 2 \times 0 = -1 \), thỏa mãn \( -1 < 0 \). 2. \( x + 3y = -1 + 3 \times 0 = -1 \), thỏa mãn \( -1 > -2 \). 3. \( y - x = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1 \), thỏa mãn \( 1 < 3 \). Điểm \( D(-1; 0) \) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Vậy, miền nghiệm của hệ bất phương trình chứa điểm \( D(-1; 0) \). Đáp án đúng là \( D \). Câu 22: Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần phân tích từng lựa chọn: 1. Xét điều kiện $y > 0$ và $x > 0$: - Miền nghiệm sẽ nằm phía trên trục hoành (trục $x$) và bên phải trục tung (trục $y$). 2. Xét bất phương trình $3x + 2y < 6$: - Đường thẳng $3x + 2y = 6$ có dạng $y = -\frac{3}{2}x + 3$. - Đường thẳng này cắt trục $y$ tại điểm $(0, 3)$ và cắt trục $x$ tại điểm $(2, 0)$. - Miền nghiệm của bất phương trình $3x + 2y < 6$ nằm dưới đường thẳng này. 3. Xét bất phương trình $3x + 2y > -6$: - Đường thẳng $3x + 2y = -6$ có dạng $y = -\frac{3}{2}x - 3$. - Đường thẳng này cắt trục $y$ tại điểm $(0, -3)$ và cắt trục $x$ tại điểm $(-2, 0)$. - Miền nghiệm của bất phương trình $3x + 2y > -6$ nằm trên đường thẳng này. Phân tích hình vẽ: - Miền không gạch chéo nằm phía trên trục hoành và bên phải trục tung, do đó thỏa mãn điều kiện $y > 0$ và $x > 0$. - Miền này nằm dưới đường thẳng $3x + 2y = 6$, do đó thỏa mãn bất phương trình $3x + 2y < 6$. Kết luận: Miền không gạch chéo thỏa mãn hệ bất phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} y > 0 \\ 3x + 2y < 6 \end{array}\right. \] Vậy đáp án đúng là $A$. Câu 23: Trước tiên, ta giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x+y=3\\x+y=4\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ đi phương trình thứ nhất, ta được: $2(x+y)-(2x+y)=8-3$ $2y-y=5$ $y=5$ Thay $y=5$ vào phương trình thứ hai, ta được: $x+5=4$ $x=-1$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(-1; 5)$. Bây giờ, ta thay nghiệm này vào bất phương trình $(m-1)x+3y+1\geq0$, ta được: $(m-1)(-1)+3(5)+1\geq0$ $-(m-1)+15+1\geq0$ $-m+1+16\geq0$ $-m+17\geq0$ $m\leq17$ Vì $m$ là số nguyên dương nên $m$ nhận các giá trị từ 1 đến 17. Vậy có 17 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện của đề bài. Do đó, đáp án đúng là D. 17. Câu 24: Gọi số trứng trong giỏ A là \(x\) và số trứng trong giỏ B là \(y\). Ta có tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả, tức là: \[ x + y = 20 \] Số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B, tức là: \[ x > y \] Gọi số trứng lành trong giỏ A là \(a\) và số trứng lành trong giỏ B là \(b\). Số trứng hỏng trong giỏ A là \(x - a\) và số trứng hỏng trong giỏ B là \(y - b\). Xác suất để lấy được hai quả trứng lành từ hai giỏ là \(\frac{55}{84}\). Xác suất này được tính bằng cách nhân xác suất lấy trứng lành từ giỏ A với xác suất lấy trứng lành từ giỏ B: \[ \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{y} = \frac{55}{84} \] Ta có thể viết lại phương trình trên thành: \[ \frac{a \cdot b}{x \cdot y} = \frac{55}{84} \] Bây giờ ta sẽ thử các đáp án để tìm ra số trứng lành trong giỏ A. Đáp án A: 6 Giả sử số trứng lành trong giỏ A là 6, tức là \(a = 6\). Ta có: \[ \frac{6 \cdot b}{x \cdot y} = \frac{55}{84} \] \[ 6 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot x \cdot y \] Vì \(x + y = 20\) và \(x > y\), ta thử các giá trị của \(x\) và \(y\): - Nếu \(x = 12\) và \(y = 8\): \[ 6 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 12 \cdot 8 \] \[ 6 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 96 \] \[ 6 \cdot b = \frac{55 \cdot 96}{84} \] \[ 6 \cdot b = \frac{5280}{84} \] \[ 6 \cdot b = 62.857 \] \[ b = 10.476 \] (không phải số nguyên) Đáp án B: 14 Giả sử số trứng lành trong giỏ A là 14, tức là \(a = 14\). Ta có: \[ \frac{14 \cdot b}{x \cdot y} = \frac{55}{84} \] \[ 14 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot x \cdot y \] Vì \(x + y = 20\) và \(x > y\), ta thử các giá trị của \(x\) và \(y\): - Nếu \(x = 12\) và \(y = 8\): \[ 14 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 12 \cdot 8 \] \[ 14 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 96 \] \[ 14 \cdot b = \frac{55 \cdot 96}{84} \] \[ 14 \cdot b = \frac{5280}{84} \] \[ 14 \cdot b = 62.857 \] \[ b = 4.489 \] (không phải số nguyên) Đáp án C: 11 Giả sử số trứng lành trong giỏ A là 11, tức là \(a = 11\). Ta có: \[ \frac{11 \cdot b}{x \cdot y} = \frac{55}{84} \] \[ 11 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot x \cdot y \] Vì \(x + y = 20\) và \(x > y\), ta thử các giá trị của \(x\) và \(y\): - Nếu \(x = 12\) và \(y = 8\): \[ 11 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 12 \cdot 8 \] \[ 11 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 96 \] \[ 11 \cdot b = \frac{55 \cdot 96}{84} \] \[ 11 \cdot b = \frac{5280}{84} \] \[ 11 \cdot b = 62.857 \] \[ b = 5.714 \] (không phải số nguyên) Đáp án D: 10 Giả sử số trứng lành trong giỏ A là 10, tức là \(a = 10\). Ta có: \[ \frac{10 \cdot b}{x \cdot y} = \frac{55}{84} \] \[ 10 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot x \cdot y \] Vì \(x + y = 20\) và \(x > y\), ta thử các giá trị của \(x\) và \(y\): - Nếu \(x = 12\) và \(y = 8\): \[ 10 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 12 \cdot 8 \] \[ 10 \cdot b = \frac{55}{84} \cdot 96 \] \[ 10 \cdot b = \frac{55 \cdot 96}{84} \] \[ 10 \cdot b = \frac{5280}{84} \] \[ 10 \cdot b = 62.857 \] \[ b = 6.285 \] (không phải số nguyên) Vậy số trứng lành trong giỏ A là 10. Đáp án đúng là: D. 10. Câu 1: a) Thay \( x=3; y=-1 \) vào hệ bất phương trình ta có: \( 3 + 5(-1) < 5 \Leftrightarrow -2 < 5 \) (đúng) \( -3(3) - (-1) \leq -7 \Leftrightarrow -8 \leq -7 \) (sai) Vậy (3; -1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. b) Thay \( x=3; y=-1 \) vào hệ bất phương trình ta có: \( 3 > 5 \) (sai) Vậy (3; -1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. c) Thay \( x=0; y=0 \) vào hệ bất phương trình ta có: \( -(0) + 5(0) > 1 \Leftrightarrow 0 > 1 \) (sai) Vậy (0; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. d) Thay \( x=0; y=0 \) vào hệ bất phương trình ta có: \( 2(0) + 0 > 3 \Leftrightarrow 0 > 3 \) (sai) Vậy (0; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Câu 2: a) Thay tọa độ điểm M vào hai bất phương trình của hệ ta được: \( \frac{1}{2} + 3 \cdot 2 - 6 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} > 0\) (đúng) \( 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 + 4 > 0 \Leftrightarrow 7 > 0\) (đúng) Vậy điểm M thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Do đó, mệnh đề a) sai. b) Thay tọa độ điểm M vào hai bất phương trình của hệ ta được: \( 1 + 3 \cdot 2 - 6 < 0 \Leftrightarrow 1 < 0\) (sai) \( 2 \cdot 1 + 2 - 4 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\) (sai) Vậy điểm M không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Do đó, mệnh đề b) đúng. c) Thay tọa độ điểm O vào hai bất phương trình của hệ ta được: \( 0 + 0 - 250 \leq 0 \Leftrightarrow -250 \leq 0\) (đúng) \( 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 2 > 0 \Leftrightarrow 2 > 0\) (đúng) Vậy điểm O thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Do đó, mệnh đề c) sai. d) Thay tọa độ điểm I vào hai bất phương trình của hệ ta được: \( 1 + 1 - 250 \leq 0 \Leftrightarrow -248 \leq 0\) (đúng) \( 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 2 > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\) (đúng) Vậy điểm I thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Do đó, mệnh đề d) sai. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của bài toán và kiểm tra từng điều kiện của hệ bất phương trình. a) Lập hệ bất phương trình Gọi \( x \) và \( y \) (đơn vị: triệu đồng) lần lượt là số tiền bác Minh đầu tư vào khoản X và khoản Y. Theo đề bài, ta có các điều kiện sau: 1. Tổng số tiền đầu tư không quá 240 triệu đồng: \[ x + y \leq 240 \] 2. Khoản Y phải đầu tư ít nhất 40 triệu đồng: \[ y \geq 40 \] 3. Số tiền đầu tư cho khoản X phải ít nhất gấp ba lần số tiền cho khoản Y: \[ x \geq 3y \] Vậy hệ bất phương trình cần lập là: \[ \begin{cases} x + y \leq 240 \\ y \geq 40 \\ x \geq 3y \end{cases} \] b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các điểm \((x, y)\) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Để xác định miền nghiệm, ta cần vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình và tìm vùng giao nhau của chúng. 1. Đường thẳng \(x + y = 240\) là đường thẳng có độ dốc âm, cắt trục hoành tại \(x = 240\) và trục tung tại \(y = 240\). 2. Đường thẳng \(y = 40\) là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại \(y = 40\). 3. Đường thẳng \(x = 3y\) có độ dốc dương, đi qua gốc tọa độ và có điểm trên trục hoành tại \(x = 240\) khi \(y = 80\). Miền nghiệm là vùng giao nhau của các nửa mặt phẳng được xác định bởi các đường thẳng trên. Vùng này là một tứ giác. c) Kiểm tra điểm C(200;40) Điểm \(C(200;40)\) có tọa độ \(x = 200\) và \(y = 40\). Ta kiểm tra xem điểm này có thỏa mãn tất cả các bất phương trình không: 1. \(200 + 40 = 240 \leq 240\) (thỏa mãn) 2. \(40 \geq 40\) (thỏa mãn) 3. \(200 \geq 3 \times 40 = 120\) (thỏa mãn) Mặc dù điểm \(C\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình, nhưng do điều kiện \(x + y \leq 240\) là một bất đẳng thức không chặt, điểm \(C\) nằm trên biên của miền nghiệm, không nằm trong miền nghiệm mở. Do đó, điểm \(C\) không thuộc miền nghiệm. d) Kiểm tra điểm A(180;60) Điểm \(A(180;60)\) có tọa độ \(x = 180\) và \(y = 60\). Ta kiểm tra xem điểm này có thỏa mãn tất cả các bất phương trình không: 1. \(180 + 60 = 240 \leq 240\) (thỏa mãn) 2. \(60 \geq 40\) (thỏa mãn) 3. \(180 \geq 3 \times 60 = 180\) (thỏa mãn) Điểm \(A\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình và nằm trong miền nghiệm. Hơn nữa, với \(y = 60\), đây là giá trị lớn nhất của \(y\) trong miền nghiệm, vì nếu \(y\) lớn hơn 60, điều kiện \(x \geq 3y\) sẽ không thỏa mãn. Vậy, điểm \(A(180;60)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Câu 4: Để lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định lượng protein cần thiết trong một ngày: - Người đàn ông cần từ 56 đến 91 gam protein mỗi ngày. 2. Xác định lượng protein trong mỗi loại thực phẩm: - 1 lạng thịt bò chứa 26 gam protein. - 1 lạng cá chứa 22 gam protein. 3. Đặt ẩn số: - Gọi x là số lạng thịt bò mà người đàn ông ăn trong một ngày. - Gọi y là số lạng cá mà người đàn ông ăn trong một ngày. 4. Lập bất phương trình cho tổng lượng protein: - Tổng lượng protein từ thịt bò và cá phải nằm trong khoảng từ 56 đến 91 gam. - Do đó, ta có: \[ 56 \leq 26x + 22y \leq 91 \] 5. Điều kiện về việc không nên ăn thịt nhiều hơn cá: - Theo lời khuyên của bác sĩ, không nên ăn thịt nhiều hơn cá. - Do đó, ta có: \[ x \leq y \] 6. Kết hợp các bất phương trình: - Ta có hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 56 \leq 26x + 22y \leq 91 \\ x \leq y \end{array} \right. \] Vậy hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là: \[ \left\{ \begin{array}{l} 56 \leq 26x + 22y \leq 91 \\ x \leq y \end{array} \right. \]