Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 9: Để giải quyết bài toán này, ta cần xét dấu của các hàm lượng giác trong góc phần tư thứ II, tức là khi $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$. 1. Xét dấu của $\sin\alpha$: - Trong góc phần tư thứ II, $\sin\alpha$ dương vì trục tung (trục $y$) là dương. 2. Xét dấu của $\cos\alpha$: - Trong góc phần tư thứ II, $\cos\alpha$ âm vì trục hoành (trục $x$) là âm. 3. Xét dấu của $\tan\alpha$: - $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Vì $\sin\alpha$ dương và $\cos\alpha$ âm, nên $\tan\alpha$ âm. 4. Xét dấu của $\cot\alpha$: - $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Vì $\cos\alpha$ âm và $\sin\alpha$ dương, nên $\cot\alpha$ âm. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. $\sin\alpha$ và $\cot\alpha$ cùng dấu. - Sai. $\sin\alpha$ dương, $\cot\alpha$ âm. B. Tích $\sin\alpha \cdot \cot\alpha$ mang dấu âm. - Đúng. Vì $\sin\alpha$ dương và $\cot\alpha$ âm, nên tích của chúng mang dấu âm. C. Tích $\sin\alpha \cdot \cos\alpha$ mang dấu dương. - Sai. Vì $\sin\alpha$ dương và $\cos\alpha$ âm, nên tích của chúng mang dấu âm. D. $\sin\alpha$ và $\tan\alpha$ cùng dấu. - Sai. $\sin\alpha$ dương, $\tan\alpha$ âm. Vậy khẳng định đúng là B. Tích $\sin\alpha \cdot \cot\alpha$ mang dấu âm. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, ta cần nhớ rằng hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) phụ nhau nghĩa là \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Từ đó, ta có các hệ thức lượng giác cơ bản cho hai góc phụ nhau: 1. \(\sin\alpha = \cos\beta\) 2. \(\cos\alpha = \sin\beta\) 3. \(\tan\alpha = \cot\beta\) 4. \(\cot\alpha = \tan\beta\) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng hệ thức trong các lựa chọn: A. \(\sin\alpha = \cos\beta\) - Đây là hệ thức đúng vì \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau. B. \(\tan\alpha = \cot\beta\) - Đây cũng là hệ thức đúng vì \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) và \(\cot\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}\). Do \(\sin\alpha = \cos\beta\) và \(\cos\alpha = \sin\beta\), ta có \(\tan\alpha = \cot\beta\). C. \(\cot\beta = \frac{1}{\cot\alpha}\) - Ta có \(\cot\beta = \tan\alpha\) và \(\cot\alpha = \tan\beta\). Do đó, \(\frac{1}{\cot\alpha} = \tan\alpha = \cot\beta\). Hệ thức này cũng đúng. D. \(\cos\alpha = -\sin\beta\) - Đây là hệ thức sai. Theo định lý góc phụ nhau, \(\cos\alpha = \sin\beta\), không phải \(-\sin\beta\). Vậy, hệ thức sai là D. \(\cos\alpha = -\sin\beta\). Câu 11: Để tính $\cos\alpha$ khi biết $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, ta có thể sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay giá trị $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ vào phương trình trên, ta có: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{8}{9} \] Từ đó, ta có: \[ \cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} \] \[ \cos\alpha = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} \] \[ \cos\alpha = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II, nơi mà $\cos\alpha$ có giá trị âm. Do đó, ta chọn: \[ \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vậy đáp án đúng là $D.~\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Câu 12: Để tính \(\tan \alpha\) khi biết \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định \(\sin \alpha\): Ta sử dụng công thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{5}{9} \] Do đó, \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] 2. Xác định dấu của \(\sin \alpha\): Vì \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\) âm, \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ III hoặc IV. - Nếu \(\alpha\) nằm trong góc phần tư III, cả \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) đều âm. - Nếu \(\alpha\) nằm trong góc phần tư IV, \(\sin \alpha\) âm và \(\cos \alpha\) dương. Vì \(\cos \alpha\) âm, \(\alpha\) nằm trong góc phần tư III hoặc IV. Do đó, \(\sin \alpha\) sẽ âm. Vậy, \[ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \] 3. Tính \(\tan \alpha\): Ta sử dụng công thức \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). \[ \tan \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} \] \[ \tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~-\frac{\sqrt{5}}{2}} \] Câu 1: a) Đúng vì \( (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 = 1 \). b) Sai vì \( 1 + 2\sin\alpha \cdot \sin\alpha = 1 + 2\sin^2\alpha \neq (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \). Ta có \( (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha \cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha \cos\alpha \). c) Đúng vì \( 1 - 2\sin\alpha \cdot \sin\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 \). d) Sai vì \( 1 - 2\sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^4\alpha \neq \sin^4\alpha + \cos^4\alpha \). Ta có \( \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha \). Câu 2: Để xét tính đúng, sai của các đẳng thức, ta cần tính giá trị của từng biểu thức một cách chi tiết. a) \( A = 4\sin30^\circ + (\sqrt{3})^3 \cdot \tan30^\circ = 5 \). - Tính \( \sin30^\circ = \frac{1}{2} \). - Tính \( \tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \). - Thay vào biểu thức: \[ A = 4 \cdot \frac{1}{2} + (\sqrt{3})^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}. \] - So sánh với 5: \( 2 + \sqrt{3} \neq 5 \). Vậy, đẳng thức a) là sai. b) \( B = \frac{1}{\sqrt{3}}\cos30^\circ - 3\sqrt{2}\sin45^\circ + \cot45^\circ = \frac{3}{2} \). - Tính \( \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). - Tính \( \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Tính \( \cot45^\circ = 1 \). - Thay vào biểu thức: \[ B = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{1}{2} - 3 + 1 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}. \] - So sánh với \(\frac{3}{2}\): \(-\frac{3}{2} \neq \frac{3}{2}\). Vậy, đẳng thức b) là sai. c) \( C = \sin^2 60^\circ + \tan^2 30^\circ - 2 = -\frac{11}{12} \). - Tính \( \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). - Tính \( \tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \). - Thay vào biểu thức: \[ C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - 2. \] - Quy đồng mẫu số: \[ C = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} - \frac{24}{12} = \frac{13}{12} - \frac{24}{12} = -\frac{11}{12}. \] Vậy, đẳng thức c) là đúng. d) \( D = 2(\sin150^\circ + \sqrt{3}) + \frac{1}{2\sqrt{2}}\cos135^\circ - 3\tan150^\circ = \frac{3}{4} + 2\sqrt{3} \). - Tính \( \sin150^\circ = \frac{1}{2} \). - Tính \( \cos135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). - Tính \( \tan150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). - Thay vào biểu thức: \[ D = 2\left(\frac{1}{2} + \sqrt{3}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right). \] \[ D = (1 + 2\sqrt{3}) - \frac{1}{4} + \frac{3}{\sqrt{3}}. \] \[ D = 1 + 2\sqrt{3} - \frac{1}{4} + \sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} - \frac{1}{4}. \] \[ D = \frac{4}{4} + \frac{12\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + 3\sqrt{3}. \] Vậy, đẳng thức d) là sai. Tóm lại: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các định lý lượng giác cơ bản và tính chất của các góc trong nửa đường tròn đơn vị. Cho $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Điều này có nghĩa là góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II. 1. Xét ý a: $\cos\alpha > 0$. Trong góc phần tư thứ II, $\cos\alpha$ luôn âm. Do đó, $\cos\alpha > 0$ là sai. 2. Xét ý b: $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \implies \frac{1}{9} + \cos^2\alpha = 1 \implies \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vì $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II, nên $\cos\alpha$ phải âm. Do đó, $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ là đúng. 3. Xét ý c: $\tan\alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$. Ta biết rằng $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. \[ \tan\alpha = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \] Do đó, $\tan\alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ là đúng. 4. Xét ý d: $\cot\alpha = 2\sqrt{2}$. Ta biết rằng $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$. \[ \cot\alpha = \frac{1}{-\frac{1}{2\sqrt{2}}} = -2\sqrt{2} \] Do đó, $\cot\alpha = 2\sqrt{2}$ là sai. Tóm lại, các ý đúng và sai như sau: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần xét các tính chất của góc $\alpha$ trong khoảng $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, tức là góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II. Trong góc phần tư này, $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha < 0$. Cho $\tan\alpha = -\frac{3}{4}$, ta có: 1. Xét ý a) $\cos\alpha > 0$: Trong góc phần tư thứ II, $\cos\alpha < 0$. Do đó, ý a) là sai. 2. Xét ý b) $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$: Ta có $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{3}{4}$. Để kiểm tra $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ có đúng không, ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Giả sử $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$, ta tính $\sin\alpha$: \[ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] \[ \sin\alpha = \pm \frac{3}{5} \] Vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, nên $\sin\alpha > 0$, do đó $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Kiểm tra lại $\tan\alpha$: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] Điều này phù hợp với điều kiện đề bài. Do đó, $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ là đúng. 3. Xét ý c) $\cot\alpha = -\frac{4}{3}$: Ta có $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$. Do đó, ý c) là đúng. 4. Xét ý d) $\sin\alpha = \frac{3}{5}$: Từ phần kiểm tra ý b), ta đã tìm được $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Do đó, ý d) là đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Đúng