Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 12: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cot x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích từng thành phần của biểu thức: - Xét phần thứ nhất: \[ \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} \] Ta có: \[ \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} = \frac{\cot^2 x}{\cot^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} = 1 - \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} \] Vì \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\), nên \(\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\). Do đó: \[ \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} = \sin^2 x \] Vậy: \[ \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} = 1 - \sin^2 x \] - Xét phần thứ hai: \[ \frac{\sin x \cos x}{\cot x} \] Ta có: \[ \frac{\sin x \cos x}{\cot x} = \frac{\sin x \cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin^2 x \] 2. Tổng hợp các kết quả: \[ A = (1 - \sin^2 x) + \sin^2 x \] \[ A = 1 - \sin^2 x + \sin^2 x \] \[ A = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( 1 \). Đáp án đúng là: \( C.~A=1 \). Câu 1: a) Đúng vì \( D = a\sin90^0 + b\cos90^0 + c\sin180^0 = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = a \). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu \( D = 2a \), do đó phát biểu này sai. b) Đúng vì \( E = \sin^260^0 + 2\cos^230^0 - 5\tan^245^0 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 5(1)^2 = \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{3}{4} - 5 = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} - 5 = \frac{9}{4} - 5 = \frac{9}{4} - \frac{20}{4} = \frac{-11}{4} \). c) Sai vì \( F = \cos^224^0 + \cos^266^0 + \cos^21^0 + \cos^289^0 \). Ta biết rằng \( \cos^224^0 + \cos^266^0 = 1 \) và \( \cos^21^0 + \cos^289^0 = 1 \). Do đó, \( F = 1 + 1 = 2 \). d) Đúng vì \( G = \cos^245^0 - 2\cos^250^0 + 2\sin^245^0 - 2\cos^240^0 + 5\tan55^0\cot125^0 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2\cos^250^0 + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2\cos^240^0 + 5 \cdot 1 = \frac{1}{2} - 2\cos^250^0 + 1 - 2\cos^240^0 + 5 = \frac{3}{2} - 2(\cos^250^0 + \cos^240^0) + 5 = \frac{3}{2} - 2 \cdot 1 + 5 = \frac{3}{2} - 2 + 5 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9}{2} \). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các định lý lượng giác cơ bản và điều kiện của góc $\alpha$. Cho $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Góc $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ II, nơi mà $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha < 0$. a) Tính $\sin^2\alpha$: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ vào, ta có: \[ \sin^2\alpha + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{9}{16} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \] Vậy, $\sin^2\alpha = \frac{7}{16}$. b) Xét dấu của $\sin\alpha$: Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ II, nên $\sin\alpha > 0$. Do đó, khẳng định $\sin\alpha < 0$ là sai. c) Tính $\sin\alpha$: Từ $\sin^2\alpha = \frac{7}{16}$, ta có: \[ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ II, nên $\sin\alpha > 0$. Do đó, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Khẳng định $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ là sai. d) Tính $\cot\alpha$: Sử dụng công thức $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, ta có: \[ \cot\alpha = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} \] Rút gọn phân số: \[ \cot\alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{7} \] Vậy, $\cot\alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$. Tóm lại: - a) Đúng: $\sin^2\alpha = \frac{7}{16}$. - b) Sai: $\sin\alpha < 0$. - c) Sai: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$. - d) Đúng: $\cot\alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$. Câu 3: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của góc phần tư I và II. a) Tính \(\sin^2 \alpha\) Chúng ta biết rằng: \[ \sin \alpha = \frac{3}{5} \] Do đó: \[ \sin^2 \alpha = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} \] b) Tính \(\cos^2 \alpha\) Chúng ta sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay giá trị \(\sin^2 \alpha\) đã tìm được: \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] Giải phương trình này để tìm \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] c) Tính \(\frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha}\) Trước tiên, chúng ta cần tìm \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\). Tìm \(\cos \alpha\) \[ \cos \alpha = \sqrt{\cos^2 \alpha} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Tìm \(\tan \alpha\) \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] Tìm \(\cot \alpha\) \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3} \] Bây giờ, chúng ta tính: \[ \frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}{\frac{4}{3} - \frac{3}{4}} \] Quy đồng mẫu số: \[ = \frac{\frac{16}{12} + \frac{9}{12}}{\frac{16}{12} - \frac{9}{12}} = \frac{\frac{25}{12}}{\frac{7}{12}} = \frac{25}{7} \] d) Tính \(\frac{1}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}\) Chúng ta đã biết: \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25}, \quad \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \] Do đó: \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \] Vậy: \[ \frac{1}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\frac{7}{25}} = \frac{25}{7} \] Kết luận Các đáp án đúng là: a) \(\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}\) b) \(\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}\) c) \(\frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha} = \frac{25}{7}\) d) \(\frac{1}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{25}{7}\) Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các định lý lượng giác cơ bản và điều kiện cho trước của góc \(\alpha\). Cho \(\cot \alpha = -\sqrt{2}\) với \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). 1. Xác định góc \(\alpha\): - \(\cot \alpha = -\sqrt{2}\) cho thấy \(\alpha\) nằm ở góc phần tư II, vì trong góc phần tư I, \(\cot \alpha\) phải dương. 2. Tính \(\tan \alpha\): - Ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\), do đó \(\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}\). 3. Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\): - Sử dụng công thức \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), ta có: \[ \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] - Do đó, \(\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha\). - Sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta thay \(\sin \alpha\) vào: \[ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{2} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{3}{2} \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{2}{3} \] \[ \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] - Vì \(\alpha\) nằm ở góc phần tư II, \(\cos \alpha\) phải âm, do đó \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}\). 4. Tính \(\sin \alpha\): - Thay \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}\) vào \(\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha\): \[ \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] 5. Kết luận: a) \(\sin \alpha > 0\) là đúng vì \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\). b) \(\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) là sai vì \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\). c) \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}\) là đúng. d) \(\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\) là sai vì \(\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}\). Vậy, các đáp án đúng là a) và c). Câu 5: a) Đúng vì \( (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 = 1 \). b) Sai vì \( 1 + 2\sin\alpha \cdot \sin\alpha = 1 + 2\sin^2\alpha \neq (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \). c) Đúng vì \( 1 - 2\sin\alpha \cdot \sin\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 \). d) Sai vì \( 1 - 2\sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^4\alpha \neq \sin^4\alpha + \cos^4\alpha \). Câu 6: Để xét tính đúng, sai của các đẳng thức, ta cần tính giá trị của từng biểu thức một cách chi tiết. a) $A=4\sin30^0+(\sqrt3)^3.\tan30^0=5.$ - Tính $\sin30^0$: Ta có $\sin30^0 = \frac{1}{2}$. - Tính $\tan30^0$: Ta có $\tan30^0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$. - Tính $(\sqrt{3})^3$: Ta có $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$. Thay vào biểu thức $A$: \[ A = 4 \times \frac{1}{2} + 3\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 + 3 = 5. \] Vậy đẳng thức $A=5$ là đúng. b) $B=\frac1{\sqrt3}\cos30^0-3\sqrt2\sin45^0+\cot45^0=\frac32.$ - Tính $\cos30^0$: Ta có $\cos30^0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Tính $\sin45^0$: Ta có $\sin45^0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$. - Tính $\cot45^0$: Ta có $\cot45^0 = 1$. Thay vào biểu thức $B$: \[ B = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{1}{2} - 3 \times 1 + 1 = \frac{1}{2} - 3 + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1. \] Vậy đẳng thức $B=\frac{3}{2}$ là sai. c) $C=\sin^260^0+\tan^230^0-2=-\frac{11}{12}.$ - Tính $\sin60^0$: Ta có $\sin60^0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, do đó $\sin^2 60^0 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$. - Tính $\tan30^0$: Ta có $\tan30^0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, do đó $\tan^2 30^0 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Thay vào biểu thức $C$: \[ C = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} - \frac{24}{12} = \frac{13}{12} - \frac{24}{12} = -\frac{11}{12}. \] Vậy đẳng thức $C=-\frac{11}{12}$ là đúng. d) $D=2(\sin150^0+\sqrt3)+\frac1{2\sqrt2}\cos135^0-3\tan150^0=\frac34+2\sqrt3.$ - Tính $\sin150^0$: Ta có $\sin150^0 = \sin(180^0 - 30^0) = \sin30^0 = \frac{1}{2}$. - Tính $\cos135^0$: Ta có $\cos135^0 = \cos(180^0 - 45^0) = -\cos45^0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. - Tính $\tan150^0$: Ta có $\tan150^0 = \tan(180^0 - 30^0) = -\tan30^0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Thay vào biểu thức $D$: \[ D = 2\left(\frac{1}{2} + \sqrt{3}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] \[ = 2 \times \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} - \frac{1}{4} + \frac{3}{\sqrt{3}} \] \[ = 1 + 2\sqrt{3} - \frac{1}{4} + \sqrt{3} \] \[ = 1 + 3\sqrt{3} - \frac{1}{4} \] \[ = \frac{4}{4} + \frac{12\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} \] \[ = \frac{3}{4} + 3\sqrt{3}. \] Vậy đẳng thức $D=\frac{3}{4}+2\sqrt{3}$ là sai. Đúng ra phải là $D=\frac{3}{4}+3\sqrt{3}$. Tóm lại: - Đẳng thức a) và c) là đúng. - Đẳng thức b) và d) là sai.